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8. Sequences and Series
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यदि $n$ प्राकृत संख्या है और श्रेणी $n+2 n+3 n+\cdots+99 n$ का मान एक पूर्ण वर्ग है, तो ऐसे लघुत्तम $n$ के वर्ग, अर्थात $n^2$ में अंको की संख्या होगी :
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$3$ से अधिक
(KVPY-2015)
Solution
(c)
We have,
$n+2 n+3 n+\ldots+99 n$ is a perfect square
$n(1+2+\ldots+99), \frac{n \times 99 \times 100}{2}$
$n \times 11 \times 9 \times 2 \times 25$
$=(3)^2 \times(5)^2 \times 2 \times 11 \times n$ is a perfect square
$\therefore n$ must be 22 .
$\therefore \quad n^2=(22)^2=484$
Number of digit of $n^2$ is $3 .$
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