एक समान्तर श्रेणी का छठवां पद 2 के बराब?

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8. Sequences and Series

hard

एक समान्तर श्रेणी का छठवां पद $2$ के बराबर है, तब गुणनफल ${a_1}{a_4}{a_5}$ को न्यूनतम बनाने वाला समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर है

A

$x = \frac{8}{5}$

B

$x = \frac{5}{4}$

C

$x = 2/3$

D

इनमें से कोई नहीं

Solution

(c) यदि समान्तर श्रेणी का प्रथम पद $a$ तथा सार्वअन्तर $x$ है,

तब $a + 5x = 2$

$ \Rightarrow $$a = 2 – 5x$

माना $P = {a_1}{a_4}{a_5} = a\,(a + 3x)\,(a + 4x)$

$ = (2 – 5x)(2 – 2x)(2 – x) = 2( – 5{x^3} + 17{x^2} – 16x + 4)$

अब $\frac{{dP}}{{dx}} = 0$

$ \Rightarrow $$x = \frac{8}{5},\;\frac{2}{3}$.

स्पष्टत:, $x = \frac{2}{3}$ के लिये $\frac{{{d^2}P}}{{d{x^2}}} > 0$

अत: $x = \frac{2}{3}$ के लिए $P$ न्यूनतम है|

Standard 11

Mathematics

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(IIT-1998)