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8. Sequences and Series
hard
एक समान्तर श्रेणी का छठवां पद $2$ के बराबर है, तब गुणनफल ${a_1}{a_4}{a_5}$ को न्यूनतम बनाने वाला समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर है
A
$x = \frac{8}{5}$
B
$x = \frac{5}{4}$
C
$x = 2/3$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(c) यदि समान्तर श्रेणी का प्रथम पद $a$ तथा सार्वअन्तर $x$ है,
तब $a + 5x = 2$
$ \Rightarrow $$a = 2 – 5x$
माना $P = {a_1}{a_4}{a_5} = a\,(a + 3x)\,(a + 4x)$
$ = (2 – 5x)(2 – 2x)(2 – x) = 2( – 5{x^3} + 17{x^2} – 16x + 4)$
अब $\frac{{dP}}{{dx}} = 0$
$ \Rightarrow $$x = \frac{8}{5},\;\frac{2}{3}$.
स्पष्टत:, $x = \frac{2}{3}$ के लिये $\frac{{{d^2}P}}{{d{x^2}}} > 0$
अत: $x = \frac{2}{3}$ के लिए $P$ न्यूनतम है|
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