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एक समान्तर श्रेणी के $m$ व $n$ पदों के योगों का अनुपात ${m^2}:{n^2}$ है, तो $m$ वें व $n$ वें पदों का अनुपात होगा
$\frac{{m - 1}}{{n - 1}}$
$\frac{{n - 1}}{{m - 1}}$
$\frac{{2m - 1}}{{2n - 1}}$
$\frac{{2n - 1}}{{2m - 1}}$
Solution
(c) दिया गया है, $\frac{{\frac{m}{2}[2a + (m – 1)d]}}{{\frac{n}{2}[2a + (n – 1)d]}} = \frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}$
$ \Rightarrow $ $\frac{{2a + (m – 1)d}}{{2a + (n – 1)d}} = \frac{m}{n}$
$ \Rightarrow $ $\frac{{a + \frac{1}{2}(m – 1)d}}{{a + \frac{1}{2}(n – 1)d}} = \frac{m}{n}$
$ \Rightarrow $ $an + \frac{1}{2}(m – 1)nd = am + \frac{1}{2}(n – 1)md$
$ \Rightarrow $$a(n – m) + \frac{d}{2}[mn – n – mn + m] = 0$
$ \Rightarrow $ $a(n – m) + \frac{d}{2}(m – n) = 0$$ \Rightarrow $$a = \frac{d}{2}$ और $d = 2a$
$\therefore $अभीष्ट अनुपात $\frac{{{T_m}}}{{{T_n}}} = \frac{{a + (m – 1)d}}{{a + (n – 1)d}} = \frac{{a + (m – 1)2a}}{{a + (n – 1)2a}}$
$ = \frac{{1 + 2m – 2}}{{1 + 2n – 2}} = \frac{{2m – 1}}{{2n – 1}}$.
ट्रिक : $m$को $2m – 1$ से व $n$ को $2n – 1$ से प्रतिस्थापित करें,
स्पष्टत: यदि ${S_m}$ द्विघातीय है,
तब ${T_m}$ एक घातीय अर्थात् रेखीय होगा।
