यदि $a$ तथा $d$ दो सम्मिश्र संख्यायें हों, तब   $a\,{C_0} – (a + d)\,{C_1} + (a + 2d)\,{C_2} – …….. + …..$ के $(n + 1)$ पदों का योग है

माना $(\mathrm{x}+3)^{\mathrm{n}-1}+(\mathrm{x}+3)^{\mathrm{n}-2}(\mathrm{x}+2)+$ $(x+3)^{n-3} \cdot(x+2)^2+\ldots \ldots .+(x+2)^{n-1}$ के प्रसार में $x^r$ का गुणांक $\alpha_r$ है। यदि $\sum_{\mathrm{r}=0}^{\mathrm{n}} \alpha_{\mathrm{r}}=\beta^{\mathrm{n}}-\gamma^{\mathrm{n}}, \beta, \gamma \in \mathrm{N}$ है, तो $\beta^2+\gamma^2$ बराबर है ……..

यदि $\sum_{ r =1}^{10} r !\left( r ^{3}+6 r ^{2}+2 r +5\right)=\alpha(11 !)$ है, तो $\alpha$ का मान बराबर है ………… |

यदि ${(1 + x)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + …. + {C_n}{x^n}$, तो ${C_0} + 2{C_1} + 3{C_2} + …. + (n + 1){C_n}$ का मान होगा  

$\frac{{{C_0}}}{1} + \frac{{{C_2}}}{3} + \frac{{{C_4}}}{5} + \frac{{{C_6}}}{7} + ….$=