यदि समीकरण $x^2-x-1=0$ के मूल $\alpha, \beta$ है तथा $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=2023 \alpha^{\mathrm{n}}+2024 \beta^n$ है, तो
$2 \mathrm{~S}_{12}=\mathrm{S}_{11}+\mathrm{S}_{10}$
$\mathrm{S}_{12}=\mathrm{S}_{11}+\mathrm{S}_{10}$
$2 \mathrm{~S}_{11}=\mathrm{S}_{12}+\mathrm{S}_{10}$
$\mathrm{S}_{11}=\mathrm{S}_{10}+\mathrm{S}_{12}$
मानलिया कि $x_1, x_2, \ldots, x_6$ बहुपद $x^6+2 x^5+4 x^4+8 x^3+16 x^2+32 x+64=0$ के मूल हैं तो
बहुपद समीकरण $x^4-x^2+2 x-1=0$ के वास्तविक मूलों की संख्या है:
माना कि $x ^2- x -1=0$ के मूल (roots) $\alpha$ और $\beta$ हैं, जहाँ $\alpha>\beta$ है। सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए निम्न को परिभाषित किया गया है
$a_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}, n \geq 1$
$b_1=1 \text { and } b_n=a_{n-1}+a_{n+1}, n \geq 2.$
तब निम्न में से कौनसा (से) विकल्प सही है (हैं) ?
$(1)$ प्रत्येक $n \geq 1$ के लिए, $a _1+ a _2+ a _3+\ldots . .+ a _{ n }= a _{ n +2}-1$
$(2)$ $\sum_{ n =1}^{\infty} \frac{ a _{ n }}{10^{ n }}=\frac{10}{89}$
$(3)$ $\sum_{ n =1}^{\infty} \frac{ b _{ n }}{10^{ n }}=\frac{8}{89}$
$(4)$ प्रत्येक $n \geq 1$ के लिए, $b _{ n }=\alpha^{ n }+\beta^{ n }$
मान $S=\left\{x: x \in \mathbb{R} \text { एवं }(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{x^2-4}+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{x^2-4}=10 \text { हैं }\right\}$ है। तब $\mathrm{n}(\mathrm{S})$ बराबर है-
माना $y = \sqrt {\frac{{(x + 1)(x - 3)}}{{(x - 2)}}} $ तो $y$ के वास्तविक मानों के लिये $x$ है