यदि समीकरण $x^2-x-1=0$ के मूल $\alpha, \beta$ है तथा $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=2023 \alpha^{\mathrm{n}}+2024 \beta^n$ है, तो

  • [JEE MAIN 2024]
  • A

     $2 \mathrm{~S}_{12}=\mathrm{S}_{11}+\mathrm{S}_{10}$

  • B

     $\mathrm{S}_{12}=\mathrm{S}_{11}+\mathrm{S}_{10}$

  • C

     $2 \mathrm{~S}_{11}=\mathrm{S}_{12}+\mathrm{S}_{10}$

  • D

     $\mathrm{S}_{11}=\mathrm{S}_{10}+\mathrm{S}_{12}$

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मान लीजिये कि $a, b, c$ शुन्येतर $(non-zero)$ वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $a+b+c=01$ यदि $q=a^2+b^2+c^2$ तथा $r=a^4+b^4+c^4$ हो तो, निम्नलिखित में से कौन सा कथन आवश्यक रूप से सही है?

  • [KVPY 2014]

यदि बहुपद $P(x)$ का समुच्चय S है जिसकी घात $ \le 2$ हो, जबकि $P(0) = 0,$$P(1) = 1$,$P'(x) > 0,{\rm{ }}\forall x \in (0,\,1)$, तब

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