समीकरण $|x{|^2}$-$3|x| + 2 = 0$ के वास्तविक हलों की संख्या है

यदि किसी धनपूर्णांक $n$ के लिए, द्विघाती समीकरण

$x(x+1)+(x+1)(x+2)+\ldots+(x+\overline{n-1})(x+n)=10 n$

के दो क्रमिक पूर्णांकीय हल है, तो $n$ बराबर है :

यदि $2+3 i$, समीकरण $2 x^{3}-9 x^{2}+ k x-13=0$, $k \in R$ का एक मूल है, तो इस समीकरण का वास्तविक मूल

माना कि $x ^2- x -1=0$ के मूल (roots) $\alpha$ और $\beta$ हैं, जहाँ $\alpha>\beta$ है। सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए निम्न को परिभाषित किया गया है

$a_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}, n \geq 1$

$b_1=1 \text { and } b_n=a_{n-1}+a_{n+1}, n \geq 2.$

तब निम्न में से कौनसा (से) विकल्प सही है (हैं) ?

$(1)$ प्रत्येक $n \geq 1$ के लिए, $a _1+ a _2+ a _3+\ldots . .+ a _{ n }= a _{ n +2}-1$

$(2)$ $\sum_{ n =1}^{\infty} \frac{ a _{ n }}{10^{ n }}=\frac{10}{89}$

$(3)$ $\sum_{ n =1}^{\infty} \frac{ b _{ n }}{10^{ n }}=\frac{8}{89}$

$(4)$ प्रत्येक $n \geq 1$ के लिए, $b _{ n }=\alpha^{ n }+\beta^{ n }$

समीकरण |${x^2}$ + 4x + 3| +  2x + 5 = 0  के वास्तविक हलों की संख्या है 

यदि $a < 0$ तब असमिका $a{x^2} - 2x + 4 > 0$ के मूल निम्न द्वारा प्रदर्शित होंगे