यदि $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या हो कि ${z^2} = {(\bar z)^2}$, तो

$\left| {\frac{1}{2}({z_1} + {z_2}) + \sqrt {{z_1}{z_2}} } \right| + \left| {\frac{1}{2}({z_1} + {z_2}) - \sqrt {{z_1}{z_2}} } \right|$ =

समीकरण ${z^2} + \bar z = 0$ के हलों की संख्या है

यदि ${z_1},{z_2}$ तथा ${z_3},{z_4}$ संयुग्मी सम्मिश्र संख्याओं के दो युग्म हैं, तब $arg\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_4}}}} \right) + arg\left( {\frac{{{z_2}}}{{{z_3}}}} \right)$बराबर है

किसी भी सम्मिश्र संख्या $w =c+i d$ के लिए, मान लीजिए कि $\arg ( w ) \in(-\pi, \pi]$, जहाँ $i=\sqrt{-1}$ है। मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ है कि $\arg \left(\frac{z+\alpha}{z+\beta}\right)=\frac{\pi}{4}$ को सन्तुष्ट करने वाली सभी सम्मिश्र संख्याओं $z = x + iy$ के लिए, क्रमित युग्म $( x , y )$ वृत्त

$x ^2+ y ^2+5 x -3 y +4=0 .$ पर स्थित है। तब निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (है)?

$(A)$ $\alpha=-1$  $(B)$ $\alpha \beta=4$   $(C)$ $\alpha \beta=-4$   $(D)$ $\beta=4$

यदि $Z$ तथा $W$ दो ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ है कि $| ZW |=1$ तथा $\arg ( z )-\arg ( w )=\frac{\pi}{2}$, तो