कोई भी दो सम्मिश्र संख्याओं ${z_1},{z_2}$के लिये $|{z_1} + {z_2}{|^2} = $ $|{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2}$ तब
कोई भी दो सम्मिश्र संख्याओं ${z_1},{z_2}$के लिये $|{z_1} + {z_2}{|^2} = $ $|{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2}$ तब
- A
${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right) = 0$
- B
${\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right) = 0$
- C
${\mathop{\rm Re}\nolimits} ({z_1}{z_2}) = 0$
- D
${\mathop{\rm Im}\nolimits} ({z_1}{z_2}) = 0$
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यदि $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $|z| \geq 2$ है, तो $\mid z+\frac{1}{2} \mid$ का न्यूनतम मान:
यदि $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $|z| \geq 2$ है, तो $\mid z+\frac{1}{2} \mid$ का न्यूनतम मान:
- [JEE MAIN 2014]
माना $\alpha=8-14 i, A=\left\{z \in \mathbb{C}: \frac{\alpha z-\bar{\alpha} \bar{z}}{z^2-(\bar{z})^2-112 i}=1\right\}$ तथा $B=\{z \in \mathbb{C}:|z+3 i|=4\}$ हैं तो $\sum_{\mathrm{z} \in \mathrm{A} \cap \mathrm{B}}(\operatorname{Re} z-\operatorname{Im} z)$ बराबर ___________ है।
माना $\alpha=8-14 i, A=\left\{z \in \mathbb{C}: \frac{\alpha z-\bar{\alpha} \bar{z}}{z^2-(\bar{z})^2-112 i}=1\right\}$ तथा $B=\{z \in \mathbb{C}:|z+3 i|=4\}$ हैं तो $\sum_{\mathrm{z} \in \mathrm{A} \cap \mathrm{B}}(\operatorname{Re} z-\operatorname{Im} z)$ बराबर ___________ है।
- [JEE MAIN 2023]
यदि $z = x + iy$ समीकरणों $| z |-2=0$ तथा $|z-i||z+5 i|=0$ को संतुष्ट करता है, तो
यदि $z = x + iy$ समीकरणों $| z |-2=0$ तथा $|z-i||z+5 i|=0$ को संतुष्ट करता है, तो
- [JEE MAIN 2022]
माना सभी सम्मिश्र संख्याओं $z$ का समुच्चय $S$ है जो $\left|z^2+z+1\right|=1$ को संतुष्ट करता है। तब निम्न में से कौनसा/कौनसे कथन सत्य होगा/होंगे?
$(A)$ सभी $z \in S$ के लिये $\left| z +\frac{1}{2}\right| \leq \frac{1}{2}$ होगा।
$(B)$ सभी $z \in S$ के लिये $| z | \leq 2$ होगा।
$(C)$ सभी $z \in S$ के लिये $\left| z +\frac{1}{2}\right| \geq \frac{1}{2}$ होगा।
$(D)$ समुच्चय $S$ में ठीक चार अवयव होंगे।
माना सभी सम्मिश्र संख्याओं $z$ का समुच्चय $S$ है जो $\left|z^2+z+1\right|=1$ को संतुष्ट करता है। तब निम्न में से कौनसा/कौनसे कथन सत्य होगा/होंगे?
$(A)$ सभी $z \in S$ के लिये $\left| z +\frac{1}{2}\right| \leq \frac{1}{2}$ होगा।
$(B)$ सभी $z \in S$ के लिये $| z | \leq 2$ होगा।
$(C)$ सभी $z \in S$ के लिये $\left| z +\frac{1}{2}\right| \geq \frac{1}{2}$ होगा।
$(D)$ समुच्चय $S$ में ठीक चार अवयव होंगे।
- [IIT 2020]
किसी भी सम्मिश्र संख्या $w =c+i d$ के लिए, मान लीजिए कि $\arg ( w ) \in(-\pi, \pi]$, जहाँ $i=\sqrt{-1}$ है। मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ है कि $\arg \left(\frac{z+\alpha}{z+\beta}\right)=\frac{\pi}{4}$ को सन्तुष्ट करने वाली सभी सम्मिश्र संख्याओं $z = x + iy$ के लिए, क्रमित युग्म $( x , y )$ वृत्त
$x ^2+ y ^2+5 x -3 y +4=0 .$ पर स्थित है। तब निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (है)?
$(A)$ $\alpha=-1$ $(B)$ $\alpha \beta=4$ $(C)$ $\alpha \beta=-4$ $(D)$ $\beta=4$
किसी भी सम्मिश्र संख्या $w =c+i d$ के लिए, मान लीजिए कि $\arg ( w ) \in(-\pi, \pi]$, जहाँ $i=\sqrt{-1}$ है। मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ है कि $\arg \left(\frac{z+\alpha}{z+\beta}\right)=\frac{\pi}{4}$ को सन्तुष्ट करने वाली सभी सम्मिश्र संख्याओं $z = x + iy$ के लिए, क्रमित युग्म $( x , y )$ वृत्त
$x ^2+ y ^2+5 x -3 y +4=0 .$ पर स्थित है। तब निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (है)?
$(A)$ $\alpha=-1$ $(B)$ $\alpha \beta=4$ $(C)$ $\alpha \beta=-4$ $(D)$ $\beta=4$
- [IIT 2021]