જો |z|, = 1 અને omega = frac{{z - 1}}{{z + 1}} (કે જ્યાં z ne

English

Gujarati

Hindi

4-1.Complex numbers

medium

જો $|z|\, = 1$ અને $\omega = \frac{{z - 1}}{{z + 1}}$ (કે જ્યાં $z \ne - 1)$, તો ${\mathop{\rm Re}\nolimits} (\omega )$= . . .

$0$

$ - \frac{1}{{|z + 1{|^2}}}$

$\left| {\frac{z}{{z + 1}}} \right|\,.\frac{1}{{|z + 1{|^2}}}$

$\frac{{\sqrt 2 }}{{|z + 1{|^2}}}$

(IIT-2003)

Solution

(a) $|z|\, = 1\, \Rightarrow \,|x + i\,y|\, = 1\, \Rightarrow \,{x^2} + {y^2} = 1$
$\omega = \frac{{z – 1}}{{z + 1}} = \frac{{(x – 1) + i\,y}}{{(x + 1) + i\,y}} \times \frac{{(x + 1) – i\,y}}{{(x + 1) – i\,y}}$
$ = \,\frac{{({x^2} + {y^2} – 1)}}{{{{(x + 1)}^2} + {y^2}}} + \frac{{2i\,y}}{{{{(x + 1)}^2} + {y^2}}} = \frac{{2i\,y}}{{{{(x + 1)}^2} + {y^2}}}$$(\because \,{x^2} + {y^2} = 1)$
${\mathop{\rm Re}\nolimits} \,(\omega ) = 0$.

Standard 11

Mathematics

જો $z$ એ એક સંકર સંખ્યા હોય કે જેથી $|z|^2 – |z| – 2 < 0$ થાય તો $|z^2 + z sin \theta|$ ની કોઈ પણ $\theta$ માટે કિમત મેળવો.

normal

જો ${z_1}$ એ સંકર સંખ્યા છે કે જેમાં ( $|{z_1}| = 1$ )અને ${z_2}$ એ સંકર સંખ્યા છે, તો $\left| {\frac{{{z_1} – {z_2}}}{{1 – {z_1}{{\bar z}_2}}}} \right| = $

medium

જો $z$ એ સંકર સંખ્યા હોય , તો આપેલ પૈકી . . . . સત્ય થાય.

normal

જો $|{z_1}|\, = \,|{z_2}|$ અને $arg\,\,\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right) = \pi $, તો ${z_1} + {z_2}$ = . ..

easy

જો $z$ અને $\omega$ એ બે સંકર સંખ્યા છે કે જેથી $|z \omega|=1$ અને $\arg (z)-\arg (\omega)=\frac{3 \pi}{2}$ હોય તો $\arg \left(\frac{1-2 \bar{z} \omega}{1+3 \bar{z} \omega}\right)$ મેળવો.

( અહી $arg(z)$ એ સંકર સંખ્યા $z$ નો મુખ્ય કોણાંક દર્શાવે છે.)

hard

(JEE MAIN-2021)