यदि n विषम या सम हो,तो श्रेणी 1 - 2 + 3 - 4 + | vedclass

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Question

(d) दी गई श्रेणी $S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6.........$

स्थिति I : यदि $n$ विषम है, अर्थात् $2m + 1$ (माना)

इस स्थिति में धनात्मक पदों की संख्या

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$(a)$ ओर $(c)$ दोनो

Vedclass · Answer

(d) दी गई श्रेणी $S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6.........$

स्थिति I : यदि $n$ विषम है, अर्थात् $2m + 1$ (माना)

इस स्थिति में धनात्मक पदों की संख्या

 $ = \frac{1}{2}(n + 1) = \frac{1}{2}(2m + 1 + 1) = (m + 1)$

एवं ऋणात्मक पदों की संख्या $ = (2m + 1) - (m + 1) = m$

अत: योग$ = [1 + 3 + 5 + ........$$(m + 1)$ पदों तक]

$ - [2 + 4 + 6.......m$ पदों तक]

$ = \frac{1}{2}(m + 1)[2 + (m + 1 - 1)2] - \frac{m}{2}[4 + (m - 1)2]$

$ = (m + 1)(m + 1 - m) = m + 1 = \frac{1}{2}(n + 1)$.

स्थिति II : यदि $n$ सम है, तो

योगफल = (${1 + 3 + 5......\;\frac{n}{2}}$पदों तक ) - (${2 + 4 + 6....\,\frac{n}{{	ext{2}}}}$ पदों तक)

 $ = \frac{1}{2}.\;\frac{n}{2}\left[ {2 + \left( {\frac{n}{2} - 1} ight)2} ight] - \frac{1}{2}.\frac{n}{2}\left[ {4 + \left( {\frac{n}{2} - 1} ight)2} ight]$

$ = \frac{1}{4}n[n - (n + 2)] =  - \frac{n}{2}$.

 ट्रिक : $n = \;3,\,4$ रखने पर,   

${S_1} = 2,\;{S_3} =  - \,2,$

जो कि विकल्प $(a)$ एवं $(c)$ से प्राप्त होता है।

यदि $n$ विषम या सम हो,तो श्रेणी $1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ......$ के $n$ पदों का योग होगा

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