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8. Sequences and Series
medium
यदि $\frac{1}{{p + q}},\;\frac{1}{{r + p}},\;\frac{1}{{q + r}}$ समान्तर श्रेणी में हैं, तो
A
$p,\;,q,\;r$ समान्तर श्रेणी में होंगे
B
${p^2},\;{q^2},\;{r^2}$ समान्तर श्रेणी में होंगे
C
$\frac{1}{p},\;\frac{1}{q},\;\frac{1}{r}$ समान्तर श्रेणी में होंगे
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(b) चूँकि $\frac{1}{{p + q}},\;\frac{1}{{r + q}}$ तथा $\frac{1}{{q + r}}$ समान्तर श्रेणी में हैं
$\therefore $ $\frac{1}{{r + q}} – \frac{1}{{p + q}} = \frac{1}{{q + r}} – \frac{1}{{r + p}}$
$ \Rightarrow $ $\frac{{p + q – r – p}}{{(r + p)(p + q)}} = \frac{{r + p – q – r}}{{(q + r)(r + p)}}$
$ \Rightarrow $ $\frac{{q – r}}{{p + q}} = \frac{{p – q}}{{q + r}}$ या ${q^2} – {r^2} = {p^2} – {q^2}$
$\therefore $ $2{q^2} = {r^2} + {p^2}$
अत: ${p^2},\;{q^2},\;{r^2}$ समान्तर श्रेणी में होंगे।
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