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यदि $a,\,b,\,c$ समान्तर श्रेणी में तथा ${a^2},\,{b^2},{c^2}$ हरात्मक श्रेणी में हों, तो
$a \ne b \ne c$
${a^2} = {b^2} = \frac{{{c^2}}}{2}$
$a,\,b,\,c$ गुणोत्तर श्रेणी में होंगे
$\frac{{ - a}}{2},b,c$ गुणोत्तर श्रेणी में होंगे
Solution
(d) $a, b, c,$ समान्तर श्रेणी में हैं,
$2b = a + c,b -a = c -b$
अब, ${a^2},{b^2},{c^2}$ हरात्मक श्रेणी में हैैं,
$\frac{1}{{{b^2}}} – \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{{c^2}}} – \frac{1}{{{b^2}}}$ $ \Rightarrow \frac{{{a^2} – {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}} = \frac{{{b^2} – {c^2}}}{{{b^2}{c^2}}}$
$(a – b)[{c^2}(a + b) – {a^2}(b + c)] = 0$,
$[\because \,(b – c) = (a – b)]$
$a = b$ या ${c^2}a + {c^2}b – {a^2}b – {a^2}c = 0$
${c^2}a + {c^2}b – {a^2}b – {a^2}c = 0$
$⇒$ $ac\,(c – a) = b\,({a^2} – {c^2})$
$ac = – b\,(c + a)$
$⇒$ $ – ac = b.2b$
${b^2} = ( – a/2)\,c$,
$\therefore – a/2,b,c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
