${(1 + x)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + ….. + {C_n}{x^n}$     ….$.(i)$

एवं ${\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n} = {C_0} + {C_1}\frac{1}{x} + {C_2}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + ….. + {C_n}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^n}$….$(ii)$

 $(i)$ व $(ii)$ का गुणा करने पर,

$C_0^2 + C_1^2 + C_2^2 + ….. + C_n^2$, $x$ से स्वतंत्र पद हैं जो कि ${(1 + x)^n}{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n}$ में $x$ से स्वतंत्र पद के बराबर होगा

या  $\frac{1}{{{x^n}}}{(1 + x)^{2n}}$ में या ${(1 + x)^{2n}}$ में ${x^n}$ के गुणांक के बराबर होगा या  ${(1 + x)^{2n}}$ में ${x^n}$ का गुणांक =${T_{n + 1}}$ =$^{2n}{C_n} = \frac{{(2n)!}}{{n!\,\,n!}}$

ट्रिक : $n = 1,n = 2,…..$ रखने पर  ${S_1} = {\,^1}C_0^2 + {\,^1}C_1^2 = 2$,

${S_2} = {\,^2}C_0^2 + {\,^2}C_1^2 + {\,^2}C_2^2 = {1^2} + {2^2} + {1^2} = 6$

अब विकल्पों से

$(a)$ दिये गये प्रतिबंध को संतुष्ट नहीं करता है

$(b)$ $(i)$ $n = 1$ रखने पर $\frac{{2!}}{{1!\,1!}} = 2$

$(ii)$ $n = 2$ रखने पर $\frac{{4!}}{{2!\,2!}} = \frac{{4 \times 3 \times 2 \times 1}}{{2 \times 1 \times 2 \times 1}} = 6$

नोट : विद्यार्थी इस प्रष्न को सर्वसमिका की तरह याद रखें।