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यदि ${(1 + x)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + .......... + {C_n}{x^n},$ तो $C_0^2 + C_1^2 + C_2^2 + C_3^2 + ...... + C_n^2$ =
$\frac{{n!}}{{n!n!}}$
$\frac{{(2n)!}}{{n!n!}}$
$\frac{{(2n)!}}{{n!}}$
इनमें से कोर्इ नहीं
Solution
${(1 + x)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + ….. + {C_n}{x^n}$ ….$.(i)$
एवं ${\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n} = {C_0} + {C_1}\frac{1}{x} + {C_2}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + ….. + {C_n}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^n}$….$(ii)$
$(i)$ व $(ii)$ का गुणा करने पर,
$C_0^2 + C_1^2 + C_2^2 + ….. + C_n^2$, $x$ से स्वतंत्र पद हैं जो कि ${(1 + x)^n}{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n}$ में $x$ से स्वतंत्र पद के बराबर होगा
या $\frac{1}{{{x^n}}}{(1 + x)^{2n}}$ में या ${(1 + x)^{2n}}$ में ${x^n}$ के गुणांक के बराबर होगा या ${(1 + x)^{2n}}$ में ${x^n}$ का गुणांक =${T_{n + 1}}$ =$^{2n}{C_n} = \frac{{(2n)!}}{{n!\,\,n!}}$
ट्रिक : $n = 1,n = 2,…..$ रखने पर ${S_1} = {\,^1}C_0^2 + {\,^1}C_1^2 = 2$,
${S_2} = {\,^2}C_0^2 + {\,^2}C_1^2 + {\,^2}C_2^2 = {1^2} + {2^2} + {1^2} = 6$
अब विकल्पों से
$(a)$ दिये गये प्रतिबंध को संतुष्ट नहीं करता है
$(b)$ $(i)$ $n = 1$ रखने पर $\frac{{2!}}{{1!\,1!}} = 2$
$(ii)$ $n = 2$ रखने पर $\frac{{4!}}{{2!\,2!}} = \frac{{4 \times 3 \times 2 \times 1}}{{2 \times 1 \times 2 \times 1}} = 6$
नोट : विद्यार्थी इस प्रष्न को सर्वसमिका की तरह याद रखें।