यदि ^n{C_r} के लिए {C_r} को प्रयुक्त किया जात | vedclass

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Question

यहाँ $C_0^2 - 2C_1^2 + 3C_2^2 - ..... + {( - 1)^n}(n + 1)C_n^2$

$ = [C_0^2 - C_1^2 + C_2^2 - .... + {( - 1)^n}C_n^2] - $

=$[C_1^2 - 2C_2^2 + 3C_

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${( - 1)^{n/2}}(n + 2)$

Vedclass · Answer

यहाँ $C_0^2 - 2C_1^2 + 3C_2^2 - ..... + {( - 1)^n}(n + 1)C_n^2$

$ = [C_0^2 - C_1^2 + C_2^2 - .... + {( - 1)^n}C_n^2] - $

=$[C_1^2 - 2C_2^2 + 3C_3^2.... - {( - 1)^n}nC_n^2]$

=${( - 1)^{n/2}}\frac{{n!}}{{(n/2)!(n/2)!}} - {( - 1)^{(n/2) - 1}}.\frac{1}{2}n\,{\,^n}{C_{n/2}}$

=${( - 1)^{n/2}}.\frac{{n!}}{{(n/2)!(n/2)!}}.\left( {1 + \frac{n}{2}} ight)$

अत: दिये गये व्यंजक का मान =

$\frac{{2(n/2)\,!\,(n/2)!}}{{n!}} 	imes {( - 1)^{n/2}}.\frac{{(n)!}}{{(n/2)!(n/2)!}}\left( {1 + \frac{n}{2}} ight)$

$ = {( - 1)^{n/2}}(2 + n)$

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$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{^n{C_0} + ...{ + ^n}{C_n}}}{{^n{P_n}}}} $ का मान है

यदि $C _{ x } \equiv{ }^{25} C _{ x }$ तथा $C _{0}+5 \cdot C _{1}+9 \cdot C _{2}+\ldots+$ (101). $C _{25}=2^{25} \cdot k$, तो $k$ बराबर है

$\sum_{ k =0}^{20}\left({ }^{20} C _{ k }\right)^{2}$ बराबर है

यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है तथा ${C_k} = {\,^n}{C_k}$, तब ${\sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}\left( {\frac{{{C_k}}}{{{C_{k - 1}}}}} \right)} ^2}$ =