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3.Trigonometrical Ratios, Functions and Identities
hard
यदि $A, B, C$ धनात्मक न्यूनकोण इस प्रकार हैं कि $A + B + C = \pi $ तथा $\cot A\,\cot \,B\,\cot \,C = K,$ तब
A
$K \le \frac{1}{{3\sqrt 3 }}$
B
$K \ge \frac{1}{{3\sqrt 3 }}$
C
$K < \frac{1}{9}$
D
$K > \frac{1}{3}$
Solution
$A + B + C = \pi $
$ \Rightarrow \tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C$
अब समान्तर माध्य $\ge$ गुणोत्तर माध्य
$ \Rightarrow \frac{{\tan A + \tan B + \tan C}}{3} \ge {(\tan A\tan B\tan C)^{1/3}}$
$ \Rightarrow \left( {\frac{{\tan A\tan B\tan C}}{3}} \right) \ge {(\tan A\tan B\tan C)^{1/3}}$
$ \Rightarrow {(\tan A\tan B\tan C)^{2/3}} \ge 3$
$ \Rightarrow {\left( {\frac{1}{K}} \right)^{2/3}} \ge 3$
$\Rightarrow \frac{1}{K} \ge {3^{3/2}} $
$\Rightarrow K \le \frac{1}{{3\sqrt 3 }}$.
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