यदि दो वृत्तों के केन्द्रों के बीच की दूरी $d$, उनकी त्रिज्यायें ${r_1},{r_2}$ हों और $d = {r_1} + {r_2}$, तो

बराबर त्रिज्या के दो वृत्त, बिन्दुओं $(0,1)$ तथा $(0,-1)$ पर काटते हैं। इनमें से एक वृत्त के बिन्दु $(0,1)$ पर स्पर्श रेखा दूसरे वृत्त के केन्द्र से होकर जाती है, तो इन वृत्तों के केन्द्रों के बीच की दूरी है

वृत्त ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ के नियामक वृत्त (Director circle) का समीकरण है

$k$ का वह मान जिसके लिये वृत्त ${x^2} + {y^2} + kx + 4y + 2 = 0$ व $2({x^2} + {y^2}) - 4x - 3y + k = 0$ लम्बवत् प्रतिच्छेदित करते हैं, है

$C_1$ तथा $C_2$ दो वृत्त एक दूसरे को वाह्य रुप से एक बिंदु $A$ पर स्पर्श करते है। मान लें कि $A B$ वृत्त $C_1$ का ब्यास है। वृत्त $C_2$ का एक कोटिज्य $(secant)$ $B A_3$ है, जो वृत्त $C_1$ को एक बिंदु $A_1(\neq A)$ पर काटती है तथा वृत्त $C_2$ को $A_2$ और $A_3$ पर काटती है। यदि $B A_1=2, B A_2=3$ तथा $B A_3=4$ हैं तो वृत्त $C_1$ तथा $C_2$ की त्रिज्याएँ क्रमशः निम्नलिखित होगी

वृत्तों ${x^2} + {y^2} - x = 0$ व ${x^2} + {y^2} + x = 0$ पर खींची गयी उभयनिष्ठ स्पर्शियों की संख्या है