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यदि $a,\;b,\;c,\;d$ भिन्न वास्तविक संख्यायें ऐसी हों कि $({a^2} + {b^2} + {c^2}){p^2} - 2(ab + bc + cd)p + ({b^2} + {c^2} + {d^2}) \le 0$ हो, तब $a,\;b,\;c,\;d$ होंगे
समान्तर श्रेणी में
गुणोत्तर श्रेणी में
हरात्मक श्रेणी में
$ab = cd$
Solution
(b) दिया गया है, $({a^2} + {b^2} + {c^2}){p^2} – 2(ab + bc + cd)p$
$ + ({b^2} + {c^2} + {d^2}) \le 0$ ….. $(i)$
किन्तु वामपक्ष
$ = ({a^2}{p^2} – 2abp + {b^2}) + ({b^2}{p^2} – 2bcp + {c^2})$
$ + ({c^2}{p^2} – 2cdp + {d^2})$ $ = {(ap – b)^2} + {(bp – c)^2} + {(cp – d)^2} \ge 0$ …..$(ii)$
चूँकि वास्तविक संख्याओं के वर्गोंं का योग अऋणात्मक है अत: $(i)$ और $(ii)$ से,
$ \Rightarrow $${(ap – b)^2} + {(bp – c)^2} + {(cp – d)^2} = 0$
$ \Rightarrow $$ap – b = 0 = bp – c = cp – d \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c} = p$
$\therefore $$a,\;b,\;c,\;d$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
