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यदि रेखा $y = 2x$ वृत्त ${x^2} + {y^2} - 10x = 0$ की एक जीवा हो तो इस जीवा को व्यास मानकर खींचे गये वृत्त का समीकरण होगा[
${x^2} + {y^2} - 2x + 4y = 0$
${x^2} + {y^2} + 2x + 4y = 0$
${x^2} + {y^2} + 2x - 4y = 0$
${x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 0$
Solution
(d) वृत्त व जीवा के प्रतिच्छेद बिन्दु से जाने वाले वृत्तों का निकाय ${x^2} + {y^2} – 10x + \lambda (y – 2x) = 0$ है।
इसका केन्द्र $\left( {(5 + \lambda ),\; – \frac{\lambda }{2}} \right)$ है।
यह $y – 2x = 0$ पर स्थित है,
$\therefore $ $ – \frac{\lambda }{2} – 10 – 2\lambda = 0 \Rightarrow – 5\lambda = 20 \Rightarrow \lambda = – 4$
अत: अभीष्ट वृत्त ${x^2} + {y^2} – 2x – 4y = 0$ है।
ट्रिक : चूँकि रेखा $y = 2x$ मूलबिन्दु एवं प्रथम व तृतीय चतुर्थांश से होकर गुजरती है। दिये गये वृत्त का केन्द्र धनात्मक $x$ – अक्ष पर है।
स्पष्टत: अभीष्ट वृत्त का केन्द्र प्रथम चतुर्थांश में होगा एवं रेखा $y = 2x$ को सन्तुष्ट करेगा जो कि वृत्त ${x^2} + {y^2} – 2x – 4y = 0$ द्वारा सन्तुष्ट है।
