वृत्तों {x^2} + {y^2} - 6x - 6y + 10 = 0 तथा {x^2} + {y^2} = 2 का स्प?

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10-1.Circle and System of Circles

hard

वृत्तों ${x^2} + {y^2} - 6x - 6y + 10 = 0$ तथा ${x^2} + {y^2} = 2$ का स्पर्श बिन्दु है

A

$(0, 0)$

B

$(1, 1)$

C

$(1, -1)$

D

$(-1, -1)$

Solution

(b) ${x^2} + {y^2} – 6x – 6y + 10 = 0$….$(i)$

${x^2} + {y^2} = 2$….$(ii)$

$ \Rightarrow – 6x – 6y + 12 = 0$

या $x + y – 2 = 0$….$(iii)$

$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + 2xy = 4${$(iii)$ से}

या $2xy = 2$ {$(ii)$ से}

व $x – y = \sqrt {{{(x + y)}^2} – 4xy}$

$ = \sqrt {4 – 4} = 0$

या $x = y$ व $x + y = 2$

$ \Rightarrow x = 1,\;y = 1$

ट्रिक : अभीष्ट बिन्दु दोनों वृत्तों को सन्तुष्ट करेगा,

स्पष्टत: बिन्दु $(1, 1)$ दोनों वृत्तों को सन्तुष्ट करता है।

Standard 11

Mathematics

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वृत्तों ${x^2} + {y^2} – 1 = 0$, ${x^2} + {y^2} – 2x – 4y + 1 = 0$ के प्रतिच्छेद बिन्दुओं से जाने वाले एवं रेखा $x + 2y = 0$ को स्पर्श करने वाले वृत्त का समीकरण है

hard

माना

$A =\left\{( x , y ) \in R \times R \mid 2 x ^{2}+2 y ^{2}-2 x -2 y =1\right\},$

$B =\left\{( x , y ) \in R \times R \mid 4 x ^{2}+4 y ^{2}-16 y +7=0\right\}$ तथा

$C =\left\{( x , y ) \in R \times R \mid x ^{2}+ y ^{2}-4 x -2 y +5 \leq r ^{2}\right\}$ है। तो $| r |$ का निम्नतम मान, जिसके लिए $A \cup B \subseteq C$ है, बराबर है

hard

(JEE MAIN-2021)

$C_1$ तथा $C_2$ दो वृत्त एक दूसरे को वाह्य रुप से एक बिंदु $A$ पर स्पर्श करते है। मान लें कि $A B$ वृत्त $C_1$ का ब्यास है। वृत्त $C_2$ का एक कोटिज्य $(secant)$ $B A_3$ है, जो वृत्त $C_1$ को एक बिंदु $A_1(\neq A)$ पर काटती है तथा वृत्त $C_2$ को $A_2$ और $A_3$ पर काटती है। यदि $B A_1=2, B A_2=3$ तथा $B A_3=4$ हैं तो वृत्त $C_1$ तथा $C_2$ की त्रिज्याएँ क्रमशः निम्नलिखित होगी

normal

(KVPY-2017)

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normal

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hard