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यदि एक चर रेखा $3 x+4 y-\lambda=0$ इस प्रकार है कि दो वृत्त $x ^{2}+ y ^{2}-2 x -2 y +1=0$ तथा $x ^{2}+ y ^{2}-18 x -2 y +78=0$ इसके दोनों ओर (opposite sides) हैं, तो $\lambda$ के सभी मानों का समुच्चय निम्न में से कौनसा अन्तराल है
$(2, 17)$
$[13, 23]$
$[12, 21]$
$(23, 31)$
Solution
$3x + 4y – \lambda = 0$
$\left( {7 – \lambda } \right)\left( {31 – \lambda } \right) < 0$ (since centres lie opposite side)
$\lambda \in \left( {7,13} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,…….\left( 1 \right)$
$\left| {\frac{{7 – \lambda }}{5}} \right| \ge 1$ and $\left| {\frac{{31 – \lambda }}{5}} \right| \ge 2$
$\left| {7 – \lambda } \right| \ge 5\,$ and $\,\,\left| {31 – \lambda } \right| \ge 10\,$
$\lambda \le 2\,\,$ or $\lambda \ge 12\,\,\,\,\,\,\,\,\,……\left( 2 \right)$
and $\lambda \le 21\,\,$ or $\lambda \ge 41\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,…..\left( 3 \right)$
$\left( 1 \right) \cap \left( 2 \right) \cap \left( 3 \right)$
$\lambda \in \left[ {12,21} \right]$
