કોઇ એક ધન પૂર્ણાંક n માટે ,જો દ્વિઘાત સ | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

$\sum\limits_{r = 1}^n {(x + r - 1)(x + r) = 10n} $

$\sum\limits_{r = 1}^n {({x^2} + xr + (r - 1)x + {r^2} - r) = 10n} $

$ \Rightarrow \,\sum\li

Vedclass · Accepted Answer

$11$

Vedclass · Answer

$\sum\limits_{r = 1}^n {(x + r - 1)(x + r) = 10n} $

$\sum\limits_{r = 1}^n {({x^2} + xr + (r - 1)x + {r^2} - r) = 10n} $

$ \Rightarrow \,\sum\limits_{r = 1}^n {({x^2} + (2r - 1)x + r(r - 1) = 10n} $

$\Rightarrow n x^{2}+\{1+3+5+\ldots .+(2 n-1)\} x+\{1.2+2.3+\ldots .+(n-1)n\}$

$=10 n$

$\Rightarrow \mathrm{nx}^{2}+\mathrm{n}^{2} \mathrm{x}+\frac{(\mathrm{n}-1) \mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{3}=10 \mathrm{n}$

$\Rightarrow x^{2}+n x+\frac{n^{2}-31}{3}=0$

Let $\alpha$ and $\alpha+1$ be its two solutions

( $\because$ it has two consequtive integral solutions)

$\Rightarrow \alpha+(\alpha+1)=-n$

$\Rightarrow \alpha=\frac{-n-1}{2}..........(1)$

Also $\alpha(\alpha+1)=\frac{n^{2}-31}{3}........(2)$

Putting value of $(1)$ in $(2),$ we get

$=\left(\frac{n+1}{2}\right)\left(\frac{1-n}{2}\right)=\frac{n^{2}-31}{3}$

$ \Rightarrow {n^2} = 121$

$ \Rightarrow n = 11$

Similar Questions

જો $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}-1=0 $ ના બીજ હોય અને $\mathrm{p}_{\mathrm{k}}=(\alpha)^{\mathrm{k}}+(\beta)^{\mathrm{k}}, \mathrm{k} \geq 1,$ તો આપેલ પૈકી ક્યૂ વિધાન સત્ય છે ?

સમીકરણ $x^{7}-7 x-2=0$ નાં ભિન્ન વાસ્તવિક બીજોની સંખ્યા ..... છે

સમીકરણ $x\left(x^2+3|x|+5|x-1|+6|x-2|\right)=0$ ના વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા__________ છે.

જો $a$ , $b$ , $c$ એ સમીકરણ $x^3 + 8x + 1 = 0$ ના બીજો હોય તો

$\frac{{bc}}{{(8b + 1)(8c + 1)}} + \frac{{ac}}{{(8a + 1)(8c + 1)}} + \frac{{ab}}{{(8a + 1)(8b + 1)}}$ ની કિમત મેળવો

Similar Questions

જો $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}-1=0 $ ના બીજ હોય અને $\mathrm{p}_{\mathrm{k}}=(\alpha)^{\mathrm{k}}+(\beta)^{\mathrm{k}}, \mathrm{k} \geq 1,$ તો આપેલ પૈકી ક્યૂ વિધાન સત્ય છે ?

સમીકરણ $x^{7}-7 x-2=0$ નાં ભિન્ન વાસ્તવિક બીજોની સંખ્યા ..... છે

સમીકરણ $x\left(x^2+3|x|+5|x-1|+6|x-2|\right)=0$ ના વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા__________ છે.

જો $a$ , $b$ , $c$ એ સમીકરણ $x^3 + 8x + 1 = 0$ ના બીજો હોય તો $\frac{{bc}}{{(8b + 1)(8c + 1)}} + \frac{{ac}}{{(8a + 1)(8c + 1)}} + \frac{{ab}}{{(8a + 1)(8b + 1)}}$ ની કિમત મેળવો

જો $a$ , $b$ , $c$ એ સમીકરણ $x^3 + 8x + 1 = 0$ ના બીજો હોય તો

$\frac{{bc}}{{(8b + 1)(8c + 1)}} + \frac{{ac}}{{(8a + 1)(8c + 1)}} + \frac{{ab}}{{(8a + 1)(8b + 1)}}$ ની કિમત મેળવો