કોઇ એક ધન પૂર્ણાંક n માટે ,જો દ્વિઘાત સ | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

$\sum\limits_{r = 1}^n {(x + r - 1)(x + r) = 10n} $

$\sum\limits_{r = 1}^n {({x^2} + xr + (r - 1)x + {r^2} - r) = 10n} $

$ \Rightarrow \,\sum\li

Vedclass · Accepted Answer

$11$

Vedclass · Answer

$\sum\limits_{r = 1}^n {(x + r - 1)(x + r) = 10n} $

$\sum\limits_{r = 1}^n {({x^2} + xr + (r - 1)x + {r^2} - r) = 10n} $

$ \Rightarrow \,\sum\limits_{r = 1}^n {({x^2} + (2r - 1)x + r(r - 1) = 10n} $

$\Rightarrow n x^{2}+\{1+3+5+\ldots .+(2 n-1)\} x+\{1.2+2.3+\ldots .+(n-1)n\}$

$=10 n$

$\Rightarrow \mathrm{nx}^{2}+\mathrm{n}^{2} \mathrm{x}+\frac{(\mathrm{n}-1) \mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{3}=10 \mathrm{n}$

$\Rightarrow x^{2}+n x+\frac{n^{2}-31}{3}=0$

Let $\alpha$ and $\alpha+1$ be its two solutions

( $\because$ it has two consequtive integral solutions)

$\Rightarrow \alpha+(\alpha+1)=-n$

$\Rightarrow \alpha=\frac{-n-1}{2}..........(1)$

Also $\alpha(\alpha+1)=\frac{n^{2}-31}{3}........(2)$

Putting value of $(1)$ in $(2),$ we get

$=\left(\frac{n+1}{2}\right)\left(\frac{1-n}{2}\right)=\frac{n^{2}-31}{3}$

$ \Rightarrow {n^2} = 121$

$ \Rightarrow n = 11$

Similar Questions

અસમતા $x^{2}-2(3 k-1) x+8 k^{2}-7>0,$ $R$ માંના પ્રત્યેક $x$ માટે માન્ય હોય તેવું પૂર્ણાક $‘K'$ નું મૂલ્ય ..........

જો $x$ કોઇ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય તો $\frac{{3{x^2} + 9x + 17}}{{3{x^2} + 9x + 7}}$ ની મહતમ કિંમત . . . હોય . .

જો $f(x)={{x}^{2}}-x+k-2,k\in R$ હોય તો $k$ ની કિમતોનો ગણ મેળવો કે જેથી $y=\left| f\left( \left| x \right| \right) \right|$ ને બિન્ન $5$ બિંદુઓ પર વિકલનીય ન થાય

સમીકરણ $(8)^{2 x}-16 \cdot(8)^x+48=0$ નાં તમામ ઉકેલો નો સરવાળો ............ છે.

જો $a, b, c, d$ અને $p$ ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઑ છે કે જેથી $(a^2 + b^2 + c^2)\,p^2 -2p\, (ab + bc + cd) + (b^2 + c^2 + d^2) \le 0$ થાય તો ...