यदि रेखा ax + by = 0 वृत्त {x^2} + {y^2} + 2x + 4y = 0 को स्पर?

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10-1.Circle and System of Circles

hard

यदि रेखा $ax + by = 0$ वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2x + 4y = 0$ को स्पर्श करती है और वृत्त ${x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 3 = 0$ का अभिलम्ब है, तब $(a,b)$ का मान है

A

$(2, 1)$

B

$(1, -2)$

C

$(1, 2)$

D

$(-1, 2)$

Solution

(c) चूँकि रेखा $ax + by = 0$, वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2x + 4y = 0$ को स्पर्श करती है।

अत: केन्द्र $(-1, -2)$ से रेखा की लम्बवत् दूरी = त्रिज्या

$\left| {\frac{{ – a – 2b}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right| $

$= \sqrt {{{( – 1)}^2} + {{( – 2)}^2}} $

${(a + 2b)^2} = 5({a^2} + {b^2})$

$4{a^2} – 4ab + {b^2} = 0$ Þ ${(2a – b)^2} = 0$

$b = 2a$.

अब, $ax + by = 0$, वृत्त ${x^2} + {y^2} – 4x + 2y – 3 = 0$ का अभिलम्ब है

अत: केन्द्र $(2, -1)$ रेखा $ax + by = 0$ पर होना चाहिये।

$2a – b = 0 \Rightarrow b = 2a$.

$a = 1$, $b = 2$.

Standard 11

Mathematics

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