अंतराल $[2,4]$ में फलन $f(x)=x^{2}$ के लिए माध्यमान प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
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The function $f(x)=x^{2}$ is continuous in $[2,4]$ and differentiable in $(2,4)$ as its derivative $f^{\prime}(x)=2 x$ is defined in $(2,4).$
Now, $\quad f(2)=4$ and $f(4)=16 .$ Hence
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{16-4}{4-2}=6$
$\mathrm{MVT}$ states that there is a point $c \in(2,4)$ such that $f^{\prime}(c)=6 .$ But $f^{\prime}(x)=2 x$ which implies $c=3 .$ Thus at $c=3 \in(2,4),$ we have $f^{\prime}(c)=6$
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यदि $f$ तथा $g,\,[0,1]$ में अवकलनीय फलन हैं जो $f(0)=2=g(1)$, $g(0)=0$ और $f(1)=6$ को संतुष्ट करते हैं, तो किसी $c \in] 0,[1$ के लिए:
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- [JEE MAIN 2014]
फलन $f(x)$ मध्यमान प्रमेय की सभी शर्तो को अंतराल $ [0, 2] $ में सन्तुष्ट करता है। यदि $ f (0) = 0 $ और अंतराल $ [0, 2] $ में $x $ के सभी मानों के लिये $|f'(x)|\, \le \frac{1}{2}$, तब
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यदि , अन्तराल $[1,\,2]$ में रौले प्रमेय को संतुष्ट करता है तथा $f(x)$ ,$[1,\,2]$ में सतत् है, तो $\int_1^2 {f'(x)dx} $ का मान है
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यदि $f(x) = 2x - {x^2}$ के लिए अन्तराल $[0, 1]$ में लैगरांज प्रमेय सत्यापित है, तो $c$ का मान, जो कि $[0,\,1]$ में होगा, है
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फलन $f(x) = {x^2} - 4$ के लिये रोले प्रमेय किस अन्तराल में सत्य है
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