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यदि वृत्त $x^2+y^2+6 x+8 y+16=0$ तथा $x ^2+ y ^2+2(3-\sqrt{3}) x + x +2(4-\sqrt{6}) y$ $= k +6 \sqrt{3}+8 \sqrt{6}, k > 0$ बिंदु $P (\alpha, \beta)$ पर अंत: स्पर्श करते हैं, तो $(\alpha+\sqrt{3})^2+(\beta+\sqrt{6})^2$ बराबर है $..............$
$24$
$298$
$25$
$56$
Solution
The circle $x^{2}+y^{2}+6 x+8 y+16=0$ has centre $(-3,-4)$ and radius 3 units.
The circle $x^{2}+y^{2}+2(3-\sqrt{3}) x+2(4-\sqrt{6}) y=$ $k+6 \sqrt{3}+8 \sqrt{6}, k>0$ has centre $(\sqrt{3}-3, \sqrt{6}-4)$ and radius $\sqrt{k+34}$
$\because \quad$ These two circles touch internally hence
$\sqrt{3+6}=|\sqrt{k+34}-3|$
Here, $k=2$ is only possible $(\because k>0)$
Equation of common tangent to two circles is $2 \sqrt{3} x+2 \sqrt{6} y+16+6 \sqrt{3}+8 \sqrt{6}+k=0$
$\because k=2$ then equation is
$x+\sqrt{2} y+3+4 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}=0 \quad \ldots \text { (i) }$
$\because \quad(\alpha, \beta)$ are foot of perpendicular from $(-3,-4)$
To line $(i)$ then
$\frac{\alpha+3}{1}=\frac{\beta+1}{\sqrt{2}}=\frac{-(-3-1 \sqrt{2}+3+1 \sqrt{2}+3 \sqrt{3})}{1+2}$
$\therefore \quad \alpha+3=\frac{\beta+4}{\sqrt{2}}=-\sqrt{3}$
$(\alpha+\sqrt{3})^{2}=9 \text { and }(\beta+\sqrt{6})^{2}=16$
$\therefore (\alpha+\sqrt{3})^{2}+(\beta+\sqrt{6})^{2}=25$
Similar Questions
अनुच्छेद में दी गई जानकारी के आधार पर सूचियों का उचित मिलान करके प्रश्न का उत्तर दें। माना कि वृत्त (circle) $C_1: x^2+y^2=9$ और वृत्त $C_2:(x-3)^2+(y-4)^2=16$ एक दूसरे को बिन्दुओं $X$ और $Y$ पर काटते हैं। माना लीजिये एक और वृत्त $C _3:( x – h )^2+( y – k )^2= r ^2$ निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है :
$(i)$ $C _3$ का केंद्र (centre) $C _1$ और $C _2$ के केन्द्रों के सरेख (Collinear) है।
$(ii)$ $C _1$ और $C _2$ दोनों $C _3$ के अन्दर हैं और
$(iii)$ $C _3, C _1$ को $M$ और $C _2$ को $N$ पर स्पर्श करता है।
माना कि $X$ और $Y$ से होकर जाने वाली रेखा $C _3$ को $Z$ और $W$ पर काटती है तथा $C _1$ और $C _3$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा (Common tangent) परवलय $x ^2=8 \alpha y$ की स्पर्श रेखा है।
सूची-$I$($List-I$) में कुछ व्यंजक (expression) हैं जिनका मान नीचे दी गयी सूची-$II$($List-II$) में है
| $List-I$ | $List-II$ |
| $(I)$ $2 h + k$ | $(P)$ $6$ |
| $(II)$ $ZW$ की लंबाई \ $XY$ की लंबाई | $(Q)$ $\sqrt{6}$ |
| $(III)$ त्रिभुज $MZN$ का क्षेत्र फल $ZMW$ | $(R)$ $\frac{5}{4}$ |
| $(IV)$ $\alpha$ | $(S)$ $\frac{21}{5}$ |
| $(T)$ $2 \sqrt{6}$ | |
| $(U)$ $\frac{10}{3}$ |
($1$) निम्न में से कौन सा एकमात्र संयोजन गलत है ?
$(1) (IV), (S)$ $(2) (IV), (U)$ $(3) (III), (R)$ $(4) (I), (P)$
($2$) निम्न में से कौन सा एकमात्र संयोजन सही है ?
$(1) (II), (T)$ $(2) (I), (S)$ $(3) (I), (U)$ $(4) (II), (Q)$
Give the answer or quetion ($1$) and ($2$)
