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7.Binomial Theorem
hard
यदि $\left(\alpha x^3+\frac{1}{\beta x}\right)^{11}$ के प्रसार में $x^9$ का गुणांक एवं $\left(\alpha \mathrm{x}-\frac{1}{\beta \mathrm{x}^3}\right)^{11}$ के प्रसार में $\mathrm{x}^{-9}$ का गुणांक बराबर हैं तब $(\alpha \beta)^2$ बराबर है____________.
A
$2$
B
$4$
C
$1$
D
$6$
(JEE MAIN-2023)
Solution
Coefficient of $x ^9$ in $\left(\alpha x^3+\frac{1}{\beta x}\right)={ }^{11} C_6 \cdot \frac{\alpha^5}{\beta^6}$
$\because$ Both are equal
$\therefore \frac{11}{C_6} \cdot \frac{\alpha^5}{\beta^6}=-\frac{11}{C_5} \cdot \frac{\alpha^6}{\beta^5}$
$\Rightarrow \frac{1}{\beta}=-\alpha$
$\Rightarrow \alpha \beta=-1$
$\Rightarrow(\alpha \beta)^2=1$
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