माना कि $S=\{a+b \sqrt{2}: a, b \in Z \}, T_1=\left\{(-1+\sqrt{2})^n: n \in N \right\}$, और $T_2=\left\{(1+\sqrt{2})^n: n \in N \right\}$ हैं। तब निम्नलिखित कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?

$(A)$ $Z \cup T_1 \cup T_2 \subset S$

$(B)$ $T_1 \cap\left(0, \frac{1}{2024}\right)=\phi$, जहां $\phi$ रिक्त समुच्चय (empty set) को दर्शाता है।

$(C)$ $T_2 \cap(2024, \infty) \neq \phi$

$(D)$ किन्हीं दिये गए $a, b \in Z$ के लिए, $\cos (\pi(a+b \sqrt{2}))+i \sin (\pi(a+b \sqrt{2})) \in Z$ यदि और केवल यदि (if and only if) $b=0$, जहां $i=\sqrt{-1}$ है।

  • [IIT 2024]
  • A

    $A,B,C$

  • B

    $A,B$

  • C

    $A,C$

  • D

    $A,B,D$

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माना $2^{(\mathrm{x}-2) \log _2 3}$ की बढ़ती घातों में $\left(\sqrt{2^{\log _2}\left(10-3^x\right)}+\sqrt[5]{2^{(x-2) \log _2 3}}\right)^m$, के द्विपद प्रसार में छठा पद $21$ है। यदि इस प्रसार में दूसरा, तीसरा तथा चौथा द्विपद गुणांक एक $A.P.$ के क्रमशः पहला, तीसरा तथा पाँचवा पद हैं, तो $\mathrm{x}$ के सभी संभव मानों के वर्गों का योग है____________.

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$(1 + x + 2{x^3})\,{\left( {\frac{3}{2}{x^2} - \frac{1}{{3x}}} \right)^9}$ के विस्तार में $x$  से स्वतंत्र पद का गुणांक है

यदि $\left(2+\frac{x}{3}\right)^{55}$ का $x$ की आरोही घातों में प्रसार करने पर, प्रसार में दो क्रमिक पदों में $x$ की घातें समान हैं, तो यह पद हैं

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