माना कि $S=\{a+b \sqrt{2}: a, b \in Z \}, T_1=\left\{(-1+\sqrt{2})^n: n \in N \right\}$, और $T_2=\left\{(1+\sqrt{2})^n: n \in N \right\}$ हैं। तब निम्नलिखित कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?

$(A)$ $Z \cup T_1 \cup T_2 \subset S$

$(B)$ $T_1 \cap\left(0, \frac{1}{2024}\right)=\phi$, जहां $\phi$ रिक्त समुच्चय (empty set) को दर्शाता है।

$(C)$ $T_2 \cap(2024, \infty) \neq \phi$

$(D)$ किन्हीं दिये गए $a, b \in Z$ के लिए, $\cos (\pi(a+b \sqrt{2}))+i \sin (\pi(a+b \sqrt{2})) \in Z$ यदि और केवल यदि (if and only if) $b=0$, जहां $i=\sqrt{-1}$ है।

यदि $(1+x)^{ n }$ के द्विपद विस्तार में तीन क्रमिक पदों के गुणांकों में $1: 7: 42$ का अनुपात है, तो इन में से विस्तार में पहला पद है

गुणनफल $(1+x)(1-x)^{10}\left(1+x+x^{2}\right)^{9}$ में $x^{18}$ का गुणांक है

$(x+a)^{n}$ के प्रसार में अंत से $r^{\text {th }}$ पद ज्ञात कीजिए।

माना $\left(2 x^{\frac{1}{5}}-\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}\right)^{15}, x > 0$ के प्रसार में $x ^{-1}$ तथा $x ^{-3}$ के गुणांक क्रमश: $m$ तथा $n$ है। यदि धनात्मक पूर्णांक $r$ इस प्रकार है कि $m n^2={ }^{15} C _{ r } .2^{ r }$ है, तो $r$ का मान है।

${(1 + x)^{21}} + {(1 + x)^{22}} + .......... + {(1 + x)^{30}}$ के विस्तार में ${x^5}$ का गुणांक होगा