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7.Binomial Theorem
hard
व्यंजक $1 + (1 + x) + {(1 + x)^2} + ..... + {(1 + x)^n}$ के विस्तार में ${x^k}$ का गुणांक $(0 \le k \le n)$ है
A
$^{n + 1}{C_{k + 1}}$
B
$^n{C_k}$
C
$^n{C_{n - k - 1}}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
व्यंजक गुणोत्तर श्रेणी में है
अत:$E = 1 + (1 + x) + {(1 + x)^2} + …. + {(1 + x)^n}$
=$\frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}} – 1}}{{(1 + x) – 1}} = {x^{ – 1}}\{ {(1 + x)^{n + 1}} – 1\} $
$\therefore \,\,\,$ $E$ मे $x^k$ का गुणांक
= $\{ {(1 + x)^{n + 1}} – 1\} $ में ${x^{k + 1}}$ का गुणांक $ = {\,^{n + 1}}{C_{k + 1}}$.
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