मान लीजिए $O=(0,0) ; x$ – एवं $y$-अक्ष पर दो बिंदु क्रमशः $A$ and $B$ ऐसे हैं कि $\angle O B A=60^{\circ}$ है. मान लीजिए कि बिंदु $D$ पहले चतुर्थाश $(quadrant)$ में इस प्रकार है कि $O A D$ एक समबाहु त्रिभुज है. $D B$ की प्रबणता क्या होगी ?

एक सरल रेखा, $\mathrm{x}$-अक्ष तथा $\mathrm{y}$-अक्ष की धनात्मक दिशाओं पर क्रमशः $\mathrm{OA}=\mathrm{a}$ तथा $\mathrm{OB}=\mathrm{b}$ अंतःखंड़ करती है। यदि मूलबिंदु $\mathrm{O}$ से इस रेखा पर अभिलंब $\mathrm{y}$-अक्ष की धनात्मक दिशा से $\frac{\pi}{6}$ का कोण बनाता है तथा $\triangle \mathrm{OAB}$ का क्षेत्रफल $\frac{98}{3} \sqrt{3}$ है, तो $\mathrm{a}^2-\mathrm{b}^2$ बराबर है :

त्रिभुज, जिसके शीर्ष $A\;(0,\;b),\;B\;(0,\;0)$ व $C\;(a,\;0)$ हैं, की माध्यिकायें $AD$ तथा $BE$ परस्पर लम्बवत् होंगी, यदि

$L _1$ और $L _2$ द्वारा परिभाषित रेखाओं

$L _1: x \sqrt{2}+ y -1=0 \text { और } L _2: x \sqrt{2}- y +1=0$

पर विचार कीजिए। किसी नियत अचर (fixed constant) $\lambda$ के लिए, मान लीजिए कि $C$ एक बिन्दु $P$ का ऐसा बिन्दुपथ (locus) है कि $P$ से $L _1$ की दूरी और $P$ से $L _2$ की दूरी का गुणनफल $\lambda^2$ है। रेखा $y =2 x +1, C$ को दो बिन्दुओं $R$ और $S$ पर मिलती है, जहाँ $R$ और $S$ के बीच की दूरी $\sqrt{270}$ है।

मान लीजिए कि RS का लंब समद्विभाजक (perpendicular bisector), $C$ को दो भिन्न बिन्दुओं R' और $S ^{\prime}$ पर मिलता है। मान लीजिए कि $R ^{\prime}$ और $S ^{\prime}$ के बीच की दूरी के वर्ग (square of the distance) का मान $D$ है।

($1$) $\lambda^2$ का मान. . . . . है।

($2$) $D$ का मान. . . . . है।

एक रेखा $L$, बिन्दुओं $(1, 1)$ व $(2, 0)$ से होकर जाती है एवं एक अन्य रेखा $L'$, बिन्दु $\left( {\frac{1}{2},0} \right)$ से होकर जाती है एवं $L$ पर लम्ब है, तो रेखाओं $L$ व $L'$ तथा $y$-अक्ष द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल है