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यदि समीकरण $\cos p\theta + \cos q\theta = 0,\;p > 0,\;q > 0$ के लिए हल समान्तर श्रेणी में हों, तो अंकिक रूप से न्यूनतम सार्वान्तर होगा
$\frac{\pi }{{p + q}}$
$\frac{{2\pi }}{{p + q}}$
$\frac{\pi }{{2(p + q)}}$
$\frac{1}{{p + q}}$
Solution
(b) दिया गया है कि, $\cos p\theta = – \cos q\theta = \cos (\pi + q\theta )$
==> $p\theta = 2n\pi \pm (\pi + q\theta ),n \in I$
==> $\theta = \frac{{(2n + 1)\pi }}{{p – q}}$ या $\frac{{(2n – 1)\pi }}{{p + q}},\,\,n \in I$
दोनों हल एक स.श्रे. बनाते हैं। $\theta = \frac{{(2n + 1)\pi }}{{p – q}}$ से एक स.श्रे. प्राप्त होती है, जिसका सार्वअन्तर $\frac{{2\pi }}{{p – q}}$ है तथा
$\theta = \frac{{(2n – 1)\pi }}{{p + q}}$ से एक स.श्रे. प्राप्त होती है जिसका सार्वअन्तर $ = \frac{{2\pi }}{{p + q}}$ है।
स्पष्टत:, $\frac{{2\pi }}{{p + q}} < \,\left| {\,\frac{{2\pi }}{{p – q}}\,} \right|$.
