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यदि सरल रेखा $ax + by = 2;a,b \ne 0$ वृत्त ${x^2} + {y^2} - 2x = 3$ को स्पर्श करती है तथा वृत्त ${x^2} + {y^2} - 4y = 6$ पर अभिलम्ब है, तब $a$ तथा $b$ के मान क्रमश: हैं
$1, -1$
$1, 2$
$ - \frac{4}{3},1$
$2, 1$
Solution
(c) ${x^2} + {y^2} – 2x = 3$ का केन्द्र $(1, 0)$ तथा त्रिज्या $2$ है तथा ${x^2} + {y^2} – 4y = 6$ का केन्द्र $(0, 2)$ तथा त्रिज्या $\sqrt {10} $ है।
$\because$ रेखा $ax + by = 2$, प्रथम वृत्त को स्पर्श करती है
$\therefore$ $\frac{{a(1)\, + b(0) – 2}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2$ या $(a – 2) = [2\sqrt {{a^2} + {b^2}} ]$ …..(i)
साथ ही, चूँकि दी गई रेखा, द्वितीय वृत्त पर अभिलम्ब हैं। अत: यह रेखा द्वितीय वृत्त के केन्द्र से होकर जायेगी।
$\therefore$ $a(0) + b(2) = 2$ या $2b = 2$ या $b = 1$
यह मान समीकरण (i) में रखने पर,
$a – 2 = 2\sqrt {{a^2} + {1^2}} $ ==> ${(a – 2)^2} = 4({a^2} + 1)$
==> ${a^2} + 4 – 4a = 4{a^2} + 4$ ==> $3{a^2} + 4a = 0$
==> $a(3a + 4) = 0$ ==> $a = 0,\, – \frac{4}{3}$
अत: $a$ तथा $b$ के मान क्रमश: $\left( { – \frac{4}{3},\,1} \right)$ हैं, (दिये गये विकल्प के अनुसार)।
