અચળ $p, q$ માટે જે સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $\left(p n+q n^{2}\right),$ હોય, તેનો સામાન્ય તફાવત શોધો. છે.
અચળ $p, q$ માટે જે સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $\left(p n+q n^{2}\right),$ હોય, તેનો સામાન્ય તફાવત શોધો. છે.
It is known that: $S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
According to the given condition,
$\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]=p n+q n^{2}$
$\Rightarrow \frac{n}{2}[2 a+n d-d]=p n+q n^{2}$
$\Rightarrow n a+n^{2} \frac{d}{2}-n \cdot \frac{d}{2}=p n+q n^{2}$
Comparing the coefficients of $n^{2}$ on both sides, we obtain
$\frac{d}{2}=q$
$\therefore d=2 q$
Thus, the common difference of the $A.P.$ is $2 q$
Similar Questions
${S_1},{S_2},......,{S_{101}}$ એ કોઈ સમાંતર શ્રેણીના ક્રમિક પદો છે જો $\frac{1}{{{S_1}{S_2}}} + \frac{1}{{{S_2}{S_3}}} + .... + \frac{1}{{{S_{100}}{S_{101}}}} = \frac{1}{6}$ અને ${S_1} + {S_{101}} = 50$ ,હોય તો $\left| {{S_1} - {S_{101}}} \right|$ ની કિમત મેળવો
${S_1},{S_2},......,{S_{101}}$ એ કોઈ સમાંતર શ્રેણીના ક્રમિક પદો છે જો $\frac{1}{{{S_1}{S_2}}} + \frac{1}{{{S_2}{S_3}}} + .... + \frac{1}{{{S_{100}}{S_{101}}}} = \frac{1}{6}$ અને ${S_1} + {S_{101}} = 50$ ,હોય તો $\left| {{S_1} - {S_{101}}} \right|$ ની કિમત મેળવો
ધારો કે ${a_1},{a_2},\;.\;.\;.\;.,{a_{49}}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે તથા $\mathop \sum \limits_{k = 0}^{12} {a_{4k + 1}} = 416$ અને ${a_9} + {a_{43}} = 66$. જો $a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_{17}^2 = 140m,$ તો $m = \;\;..\;.\;.\;.\;$
ધારો કે ${a_1},{a_2},\;.\;.\;.\;.,{a_{49}}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે તથા $\mathop \sum \limits_{k = 0}^{12} {a_{4k + 1}} = 416$ અને ${a_9} + {a_{43}} = 66$. જો $a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_{17}^2 = 140m,$ તો $m = \;\;..\;.\;.\;.\;$
- [JEE MAIN 2018]
આપેલ સમાંતર શ્રેણીમાં બધા પદો ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે તથા પહેલા નવ પદોનો સરવાળો $200$ કરતાં વધારે અને $220$ કરતાં ઓછો છે. જો શ્રેણીનું બીજું પદ $12$ હોય તો ચોથું પદ મેળવો.
આપેલ સમાંતર શ્રેણીમાં બધા પદો ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે તથા પહેલા નવ પદોનો સરવાળો $200$ કરતાં વધારે અને $220$ કરતાં ઓછો છે. જો શ્રેણીનું બીજું પદ $12$ હોય તો ચોથું પદ મેળવો.
- [JEE MAIN 2014]
અહી $a_1=8, a_2, a_3, \ldots a_n$ એ સમાંતર શ્રેણી માં છે . જો પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો $50$ અને અંતિમ ચાર પદોનો સરવાળો $170$ હોય તો મધ્યના બે પદોનો ગુણાકાર મેળવો.
અહી $a_1=8, a_2, a_3, \ldots a_n$ એ સમાંતર શ્રેણી માં છે . જો પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો $50$ અને અંતિમ ચાર પદોનો સરવાળો $170$ હોય તો મધ્યના બે પદોનો ગુણાકાર મેળવો.
- [JEE MAIN 2023]
જો $a, b$ અને $c$ એ સમાંતર શ્રેણીનાં અનુક્રમે પ્રથમ, દ્વિતીય અને અંતિમ પદ હોય, તો આ પદની કુલ સંખ્યા...... છે.
જો $a, b$ અને $c$ એ સમાંતર શ્રેણીનાં અનુક્રમે પ્રથમ, દ્વિતીય અને અંતિમ પદ હોય, તો આ પદની કુલ સંખ્યા...... છે.