સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $p$ પદોનો સરવાળો, પ્રથમ $q$ પદોના સરવાળા જેટલો થાય છે, તો પ્રથમ $(p+q)$ પદોનો સરવાળો શોધો.
Let $a$ and $d$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively.
Here,
$S_{P}=\frac{p}{2}[2 a+(p-1) d]$
$S_{q}=\frac{p}{2}[2 a+(q-1) d]$
According to the given condition, $\frac{p}{2}[2 a+(p-1) d]=\frac{q}{2}[2 a+(q-1) d]$
$\Rightarrow p[2 a+(p-1) d]=q[2 a+(q-1) d]$
$\Rightarrow 2 a p+p d(p-1)=2 a q+q d(q-1)$
$\Rightarrow 2 a(p-q)+d[p(p-1)-q(q-1)]=0$
$\Rightarrow 2 a(p-q)+d\left[p^{2}-p-q^{2}+q\right]=0$
$\Rightarrow 2 a(p-q)+d[(p-q)(p+q)-(p-q)]=0$
$\Rightarrow 2 a(p-q)+d[(p-q)(p+q-1)]=0$
$\Rightarrow 2 a+d(p+q-1)=0$
$\Rightarrow d=\frac{-2 a}{p+q-1}$ .........$(1)$
$\therefore S_{p+q}=\frac{p+q}{2}[2 a+(p+q-1) \cdot d]$
$\Rightarrow S_{p+q}=\frac{p+q}{2}\left[2 a+(p+q-1)\left(\frac{-2 a}{p+q-1}\right)\right]$ [ From $(1)$ ]
$=\frac{p+q}{2}[2 a-2 a]$
$=0$
Thus, the sum of the first $(p+q)$ terms of the $A.P.$ is $0$
સમાંતર શ્રેણીનું $r$ મું પદ $T_r$ લો.$ r = 1, 2, 3, ….$ માટે. જો કેટલાક ધન પૂર્ણાકો $m, n$ માટે
${{\text{T}}_{\text{m}}}\,=\,\,\frac{1}{n}\,$ અને ${{\text{T}}_{\text{n}}}\,=\,\frac{\text{1}}{\text{m}}\text{,}$ હોય,તો ${{\text{T}}_{\text{mn}}}\text{ }......$
$3 + 7 + 11 +....+ 407$ સમાંતર શ્રેણીમાં છેલ્લેથી $20$ મું પદ ......છે.
જો સમાંતર શ્રેણીમાં આવેલી ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો $24$ અને તેમનો ગુણાકાર $440$ હોય તો આ સંખ્યાઓ શોધો.
જો $a^{1/x} = b^{1/y} = c^{1/z}$ અને $a, b, c$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો $x, y$ અને $z$ એ.....
જો $2x, x + 8$ અને $3x + 1$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય, તો $x = ….$