સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $p$ પદોનો સરવાળો, પ્રથમ $q$ પદોના સરવાળા જેટલો થાય છે, તો પ્રથમ $(p+q)$ પદોનો સરવાળો શોધો. 

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

Let $a$ and $d$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively.

Here,

$S_{P}=\frac{p}{2}[2 a+(p-1) d]$

$S_{q}=\frac{p}{2}[2 a+(q-1) d]$

According to the given condition, $\frac{p}{2}[2 a+(p-1) d]=\frac{q}{2}[2 a+(q-1) d]$

$\Rightarrow p[2 a+(p-1) d]=q[2 a+(q-1) d]$

$\Rightarrow 2 a p+p d(p-1)=2 a q+q d(q-1)$

$\Rightarrow 2 a(p-q)+d[p(p-1)-q(q-1)]=0$

$\Rightarrow 2 a(p-q)+d\left[p^{2}-p-q^{2}+q\right]=0$

$\Rightarrow 2 a(p-q)+d[(p-q)(p+q)-(p-q)]=0$

$\Rightarrow 2 a(p-q)+d[(p-q)(p+q-1)]=0$

$\Rightarrow 2 a+d(p+q-1)=0$

$\Rightarrow d=\frac{-2 a}{p+q-1}$          .........$(1)$

$\therefore S_{p+q}=\frac{p+q}{2}[2 a+(p+q-1) \cdot d]$

$\Rightarrow S_{p+q}=\frac{p+q}{2}\left[2 a+(p+q-1)\left(\frac{-2 a}{p+q-1}\right)\right]$             [ From $(1)$ ]

$=\frac{p+q}{2}[2 a-2 a]$

$=0$

Thus, the sum of the first $(p+q)$ terms of the $A.P.$ is $0$

Similar Questions

પ્રથમ ત્રણ પદો લખો : $a_{n}=2 n+5$

જો કોઈ $\alpha$ માટે $3^{2 \sin 2 \alpha-1},14$ અને $3^{4-2 \sin 2 \alpha}$ એ પ્રથમ ત્રણ સમાંતર શ્રેણીના પદો હોય તો તે સમાંતર શ્રેણીનું છઠ્ઠું પદ ............ થાય 

  • [JEE MAIN 2020]

સમાંતર શ્રેણી $a_1, a_2, a_3, ……$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $50\,n\, + \,\frac{{n\,(n\, - 7)}}{2}A$ છે.    જ્યાં $A$ અચળ છે જો $d$ સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત હોય તો $(d,a_{50})$ ની કિમત મેળવો. 

  • [JEE MAIN 2019]

ગણ $\{\mathrm{n} \in\{1,2, \ldots \ldots ., 100\} \mid$  $n$ અને $2040$ નો ગુ.સા.અ  $1$ થાય  $\,\}$ ના બધાજ ઘટકોનો સરવાળો મેળવો.

  • [JEE MAIN 2021]

જો $a_1, a_2, .. a_{24}$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય અને $a_1 + a_5 + a_{10} + a_{15} + a_{20} + a_{24} = 225$ થાય, તો આ સમાંતર શ્રેણીના $24$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય ?