સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $p$ પદોનો સરવાળો, પ્રથમ $q$ પદોના સરવાળા જેટલો થાય છે, તો પ્રથમ $(p+q)$ પદોનો સરવાળો શોધો.
Let $a$ and $d$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively.
Here,
$S_{P}=\frac{p}{2}[2 a+(p-1) d]$
$S_{q}=\frac{p}{2}[2 a+(q-1) d]$
According to the given condition, $\frac{p}{2}[2 a+(p-1) d]=\frac{q}{2}[2 a+(q-1) d]$
$\Rightarrow p[2 a+(p-1) d]=q[2 a+(q-1) d]$
$\Rightarrow 2 a p+p d(p-1)=2 a q+q d(q-1)$
$\Rightarrow 2 a(p-q)+d[p(p-1)-q(q-1)]=0$
$\Rightarrow 2 a(p-q)+d\left[p^{2}-p-q^{2}+q\right]=0$
$\Rightarrow 2 a(p-q)+d[(p-q)(p+q)-(p-q)]=0$
$\Rightarrow 2 a(p-q)+d[(p-q)(p+q-1)]=0$
$\Rightarrow 2 a+d(p+q-1)=0$
$\Rightarrow d=\frac{-2 a}{p+q-1}$ .........$(1)$
$\therefore S_{p+q}=\frac{p+q}{2}[2 a+(p+q-1) \cdot d]$
$\Rightarrow S_{p+q}=\frac{p+q}{2}\left[2 a+(p+q-1)\left(\frac{-2 a}{p+q-1}\right)\right]$ [ From $(1)$ ]
$=\frac{p+q}{2}[2 a-2 a]$
$=0$
Thus, the sum of the first $(p+q)$ terms of the $A.P.$ is $0$
જો સમાંતર શ્રેણી નું $p$ મું, $q$ મું , $r$ મું પદ અનુક્રમે $1/a, 1/b, 1/c$ હોય તો $ab(p - q) + bc(q - r) + ca(r - p) = …….$
આપેલ શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદ શોધો અને સંબંધિત શ્રેઢી મેળવો : $a_{1}=-1, a_{n}=\frac{a_{n-1}}{n},$ માટે $n\, \geq\, 2$
સમાંતર શ્રેણીમાં યુગ્મ પદ છે. જો તેમાં રહેલ અયુગ્મ પદનો સરવાળો $24$ અને યુગ્મ પદનો સરવાળો $30$ છે. જો અંતિમ પદ પ્રથમ પદ કરતાં $10\frac{1}{2}$ જેટલું વધારે હોય તો સમાંતર શ્રેણીના પદની સંખ્યા મેળવો.
શ્રેણી $2,\,5,\,8...$ ના $2n$ પદનો સરવાળો એ શ્રેણી $57,\,59,\,61...$,ના $n$ પદના સરવાળા બરાબર હોય તો $n$ મેળવો.
જો $a_1 , a_2, a_3, . . . . , a_n, ....$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે કે જેથી $a_4 - a_7 + a_{10}\, = m$ હોય તો પ્રથમ $13$ પદોનો સરવાળો ............ $\mathrm{m}$ મા મેળવો.