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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola
medium
यदि अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1$ के बिन्दु $(2\sec \phi ,\;3\tan \phi )$ पर स्पर्श $3x - y + 4 = 0$ के समान्तर है, तब $f$ का मान ............. $^o$ है
A
$45$
B
$60$
C
$30$
D
$75$
Solution
(c) $x = 2\sec \phi $ के अवकलन से, $\frac{{dx}}{{d\phi }} = 2\sec \phi \tan \phi $
$y = 3\tan \phi $ के अवकलन से, $\frac{{dy}}{{d\phi }} = 3{\sec ^2}\phi $
अत: स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy/d\phi }}{{dx/d\phi }} = \frac{{3{{\sec }^2}\phi }}{{2\sec \phi \tan \phi }}$
$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{3}{2}\,{\rm{cosec}}\phi $…..$(i)$
किन्तु स्पर्श रेखा, $3x – y + 4 = 0$ के समांतर है, अत: प्रवणता $m = 3$ …..$(ii)$
समीकरण $(i)$ व $(ii)$ से, $\frac{3}{2}{\rm{cosec}}\phi = 3$
${\rm{cosec}}\phi = 2$,
$\therefore \phi = 30^\circ $.
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