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यदि चर रेखा $3 x +4 y =\alpha$, दो वत्तों $( x -1)^{2}+( y -1)^{2}=1$ तथा $( x -9)^{2}+( y -1)^{2}=4$ के बीच इस प्रकार स्थित है कि यह किसी मी वत्त से जीवा नहीं बनाती, तो $\alpha$ के समी पूर्णाक मानों का योग है ..........
$164$
$166$
$165$
$199$
Solution
Both centres should lie on either side of the line as well as line can be tangent to circle.
$(3+4-\alpha) \cdot(27+4-\alpha)\,<\,0$
$(7-\alpha) \cdot(31-\alpha)<0 \Rightarrow \alpha \in(7,31) \quad \ldots(1)$
$d_{1}=\text { distance of }(1,1) \text { from line }$
$d_{2}=\text { distance of }(9,1) \text { from line }$
$d_{1} \geq r_{1} \Rightarrow \frac{|7-\alpha|}{5} 1 \Rightarrow \alpha \in(-\infty, 2] \cup[12, \infty) \ldots(2)$
$d_{2} \geq r_{2} \Rightarrow \frac{|31-\alpha|}{5} \geq 2 \Rightarrow \alpha \in(-\infty, 21] \cup[41, \infty)\ldots(3)$
$(1) \cap(2) \cap(3) \Rightarrow \alpha \in[12,21]$
Sum of integers $=165$
