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यदि तीन भिन्न संख्याएं $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेढ़ी में है तथा समीकरण $ax ^{2}+2 bx + c =0$ और $dx ^{2}+2 ex +$ $f=0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है, तो निम्न में से कौन-सा एक कथन सत्य है ?
$d , e , f$ गुणोतर श्रेढ़ी में हैं।
$\frac{ d }{ a }, \frac{ e }{ b }, \frac{f}{ c }$ समांतर श्रेणी में है।
$\frac{ d }{ a }, \frac{ e }{ b }, \frac{f}{ c }$ गुणोत्तर श्रेणी में है।
$d , e , f$ समांतर श्रेढ़ी में हैं।
Solution
${b^2} = ac$
Also root of $a{x^2} + 2bx + c = 0$ are equal
$ \Rightarrow x\frac{{ – b}}{a}$
$ \Rightarrow d{\left( {\frac{{ – b}}{a}} \right)^2} + 2e\left( {\frac{{ – b}}{a}} \right) + \int { = 0} $
$d{b^2} – 2aeb + f{a^2} = 0,{b^2} = ac$
$ \Rightarrow dac – 2aeb + f{a^2} = 0$
$ \Rightarrow dc – 7eb + fa = 0$
Dividing by $ac$
$ \Rightarrow \frac{d}{a} – \frac{{2e}}{b} + \frac{f}{c} = 0$
$ \Rightarrow \frac{d}{a} + \frac{f}{c} = 2.\frac{e}{b}$
