यदि ${(1 – 3x + 10{x^2})^n}$ के विस्तार में गुणांकों का योग $a$ तथा ${(1 + {x^2})^n}$ के विस्तार में गुणांकों का योग $b$ हो, तो

माना $S_{1}=\sum_{j=1}^{10} j(j-1)^{10} C_{j}, S_{2}=\sum_{j=1}^{10} j^{10} C_{j}$

और $S_{3}=\sum_{j=1}^{10} j^{210} C_{j}$

कथन $1: S_{3}=55 \times 2^{9}$

कथन $2: S_{1}=90 \times 2^{8}$ और $S_{2}=10 \times 2^{8}$

$-{ }^{15} C _{1}+2 \cdot{ }^{15} C _{2}-3 \cdot{ }^{15} C _{3}+\ldots .-15 \cdot{ }^{15} C _{15}+{ }^{14} C _{1}+$ ${ }^{14} C _{3}+{ }^{14} C _{5}+\ldots .+{ }^{14} C _{11}$ का मान है

${C_0} – {C_1} + {C_2} – {C_3} + ….. + {( – 1)^n}{C_n}$ बराबर होगा

यदि ${({\alpha ^2}{x^2} – 2\alpha {\rm{ }}x + 1)^{51}}$ के प्रसार में गुणांकों का योगफल $0$ है, तब  $\alpha $ का मान है