- Home
- Standard 12
- Mathematics
જો $P$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા પરનો સંબંધ છે કે જેથી $P = \left\{ {\left( {a,b} \right):{{\sec }^2}\,a - {{\tan }^2}\,b = 1\,} \right\}$. હોય તો $P$ એ . . . .
સ્વવાચક અને સંમિત છે પરંતુ પરંપરિત નથી.
સ્વવાચક અને પરંપરિત છે પરંતુ સંમિત નથી.
સંમિત અને પરંપરિત છે પરંતુ સ્વવાચક નથી.
સામ્ય સંબધ છે .
Solution
$P = \left\{ {\left( {a,b} \right):{{\sec }^2}a – {{\tan }^2}b = 1} \right\}$
For reflexive:
${\sec ^2}a – {\tan ^2}b = 1$
$\left( {true\,\,\forall \,\,a} \right)$
For symmetric:
${\sec ^2}b – {\tan ^2}a = 1$
$L.H.S$
$1 + {\tan ^2}b – \left( {{{\sec }^2}a – 1} \right)$
$ = 1 + {\tan ^2}b – {\sec ^2}a + 1$
$ = – \left( {{{\sec }^2}a – {{\tan }^2}b} \right) + 2$
$ = – 1 + 2 = 1$
So, Relation is symmetric
For transitive:
if ${\sec ^2}a – {\tan ^2}b = 1$ and ${\sec ^2}b – {\tan ^2}c = 1$
${\sec ^2}a – {\tan ^2}c = \left( {1 + {{\tan }^2}b} \right) – \left( {{{\sec }^2}b – 1} \right)$
$ = – {\sec ^2}b – {\tan ^2}b + 2$
$ = – 1 + 2 = 1$
So, Relation is transitive.
Hence, Relation $P$ is an equivalence relation
