બિંદુઓ $S$ અને $S\,'$ એ ઉપવલયની નાભીઓ અને બિંદુ $B$ એ ગૌણઅક્ષ પરના અંત્યબિંદુ છે જો $\Delta S\,'BS$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં ખૂણો $B$ કાટખૂણો હૉય અને $(\Delta S\,'BS)$ નું ક્ષેત્રફળ = $8\,$ ચો.એકમ હોય તો ઉપવલયની નાભીલંબની લંબાઈ .......... થાય 

જો ઉપવલય $\frac{ x ^{2}}{ a ^{2}}+\frac{ y ^{2}}{ b ^{2}}=1$ એ રેખા $\frac{x}{7}+\frac{y}{2 \sqrt{6}}=1$ ને $x$- અક્ષ પર મળે છે અને રેખા $\frac{x}{7}-\frac{y}{2 \sqrt{6}}=1$ ને $y$-અક્ષ પર મળે છે તો ઉપવલયની ઉકેન્દ્રીતા  . .  . થાય.

ઉપવલયના પ્રમાણિત સમીકરણ ($y-$અક્ષ પ્રત્યે) માં ગૌણ અક્ષની લંબાઈ  $\frac{4}{\sqrt{3}} $ છે. તો ઉપવલય રેખા $x+6 y=8 $ સ્પર્શે છે તો ઉકેન્દ્રીતા મેળવો.

જો બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2y_2)$ માંથી ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$પર દોરેલા સ્પરશકોની સ્પર્શ જીવાઓ કાટખૂણે હોય, તો $\frac{{{x_1}{x_2}}}{{{y_1}{y_2}}}\,\, = \,\,..........$

આપેલ ઉપવલય માટે નાભિના યામ, શિરોબિંદુઓ તથા પ્રધાન અક્ષ તથા ગૌણ અક્ષની લંબાઈ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધોઃ

$\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{400}=1$

ધારો કે $f(x)=x^2+9, g(x)=\frac{x}{x-9}$ અને $\mathrm{a}=f \circ g(10), \mathrm{b}=g \circ f(3)$. જો $\mathrm{e}$ અને $l$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{\mathrm{a}}+\frac{y^2}{\mathrm{~b}}=1$ ની અનુક્રમે ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ દર્શાવે, તો $8 \mathrm{e}^2+l^2=$.................