ધારો કે $Y =\left\{n^{2}: n \in N \right\} \subset N ,$ વિધેય $f: N \rightarrow Y,$ $f(n)=n^{2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. સાબિત કરો કે $f$ વ્યસ્તસંપન્ન છે. $f$ નું પ્રતિવિધેય શોધો.
ધારો કે $Y =\left\{n^{2}: n \in N \right\} \subset N ,$ વિધેય $f: N \rightarrow Y,$ $f(n)=n^{2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. સાબિત કરો કે $f$ વ્યસ્તસંપન્ન છે. $f$ નું પ્રતિવિધેય શોધો.
An arbitrary element $y$ in $Y$ is of the form $n^{2}$, for some $n \in N .$ This implies that $n=\sqrt{y} .$ This gives a function $g: Y \rightarrow N$, defined by $g(y)=\sqrt{y} .$ Now, $gof\,(n)$ $=g\left(n^{2}\right)$ $=\sqrt{n^{2}}=n$ and $fog (y)=f(\sqrt{y})=$ $(\sqrt{y})^{2}=y,$ which shows that $g o f=I_{N}$ and $f o g=I_{Y} .$ Hence, $f$ is invertible with $f^{-1}=g$
Similar Questions
આપેલ પૈકી . . . . વિધેયનું વ્યસ્ત વિધેય તે વિધેય જ હોય .
આપેલ પૈકી . . . . વિધેયનું વ્યસ્ત વિધેય તે વિધેય જ હોય .
$y=5^{\log x}$ નો વ્યસ્ત મેળવો.
$y=5^{\log x}$ નો વ્યસ્ત મેળવો.
- [JEE MAIN 2021]
જો $X$ અને $Y$ એ બે અરિક્ત ગણ છે કે જ્યાં $f:X \to Y$ એ રીતે વ્યખ્યાયિત છે કે જેથી $C \subseteq X$ માટે $f(c) = \left\{ {f(x):x \in C} \right\}$ અને $D \subseteq Y$ માટે ${f^{ - 1}}(D) = \{ x:f(x) \in D\} $ , કોઈ $A \subseteq X$ અને $B \subseteq Y,$ તો
જો $X$ અને $Y$ એ બે અરિક્ત ગણ છે કે જ્યાં $f:X \to Y$ એ રીતે વ્યખ્યાયિત છે કે જેથી $C \subseteq X$ માટે $f(c) = \left\{ {f(x):x \in C} \right\}$ અને $D \subseteq Y$ માટે ${f^{ - 1}}(D) = \{ x:f(x) \in D\} $ , કોઈ $A \subseteq X$ અને $B \subseteq Y,$ તો
- [IIT 2005]
ધારો કે વિધેય $f: R \rightarrow R$, $f(x)=4 x+3$. સાબિત કરો કે $f$ વ્યસ્તસંપન્ન છે. વિધેય નું પ્રતિવિધેય શોધો.
ધારો કે વિધેય $f: R \rightarrow R$, $f(x)=4 x+3$. સાબિત કરો કે $f$ વ્યસ્તસંપન્ન છે. વિધેય નું પ્રતિવિધેય શોધો.
જો $f(x) = {x^2} + 1$, તો ${f^{ - 1}}(17)$ અને ${f^{ - 1}}( - 3)$ મેળવો.
જો $f(x) = {x^2} + 1$, તો ${f^{ - 1}}(17)$ અને ${f^{ - 1}}( - 3)$ મેળવો.