વિધેય f: X → Y એ વ્યસ્તસંપન્ન છે. સાબિત કર?

English

Gujarati

Hindi

1.Relation and Function

medium

વિધેય $f: X \rightarrow Y$ એ વ્યસ્તસંપન્ન છે. સાબિત કરો કે $f^{-1}$ નું પ્રતિવિધેય $f$ છે, એટલે કે $\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$

Option A

Option B

Option C

Option D

Solution

Let $f : X \rightarrow Y$ be an invertible function.

Then, there exists a function $g : Y \rightarrow X$ such that $gof = I_X$ and $fog = I_Y$

Here, $f^{-1}=g$

Now,

$gof = I_X$ and $fog = I _{ Y }$

$\Rightarrow f ^{-1}$ of $= I_X$ and $fof -1= I_Y$

Hence, $f^{-1}: Y \rightarrow X$ is invertible and $f$ is the inverse of $f^{-1}$ i.e., $\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$

Standard 12

Mathematics

Share

Similar Questions

વિધેયો $f:\{1,2,3\} \rightarrow\{a, b, c\}$ અને $g:\{a, b, c\} \rightarrow$ $\{$ સફરજન, દડો, બિલાડી $\}$ એ $f(1)=a$, $f(2)=b$, $f(3)=c$, $g(a)=$ સફરજન, $g(b)=$ દડો અને $g(c)=$ બિલાડી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેયો છે. સાબિત કરો કે $f,\, g$ અને $gof$ વ્યસ્તસંપન્ન વિધેયો છે. $f^{-1}, \,g^{-1}$ અને $(gof)^{-1}$ શોધો અને સાબિત કરો કે $(gof)^{-1}=f^{-1}og^{-1}$.

medium

જો $f:[1,\; + \infty ) \to [2,\; + \infty )$ માટે વિધેય $f(x) = x + \frac{1}{x}$ આપેલ હોય તો ${f^{ – 1}}$ મેળવો.

medium

(IIT-2001)

જો $f(x) = {x^2} + 1$, તો ${f^{ – 1}}(17)$ અને ${f^{ – 1}}( – 3)$ મેળવો.

easy

સાબિત કરો કે $f:[-1,1] \rightarrow R ,$ $f(x)=\frac{x}{(x+2)}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય એક-એક છે. વિધેય $f:[-1,1] \rightarrow,$ નો વિસ્તાર$ f(x)=\frac{x}{(x+2)}$ તો $f$ નું પ્રતિવિધેય શોધો.

સૂચન : $f$ ના વિસ્તારમાં આવેલ $y$ ને સંગત કોઈક $x \in [ – 1,1]$ માટે $y=f(x)=\frac{x}{x+2}$, એટલે કે, $x = \frac{{2y}}{{(1 – y)}}$,

hard

અહી $f: R -\{3\} \rightarrow R -\{1\}$ એ $f(x)=\frac{x-2}{x-3} $ દ્વારા આપેલ છે. અને $g: R \rightarrow R$ એ $g ( x )=2 x -3$ દ્વારા આપેલ છે. તો $x$ ની બધીજ કિમતોનો સરવાળો મેળવો કે જેથી $f^{-1}( x )+ g ^{-1}( x )=\frac{13}{2}$ થાય.

hard

(JEE MAIN-2021)