मान लीजिए कि $Y =\left\{n^{2}: n \in N \right\} \subset N$ है। फलन $f: N \rightarrow Y$ जहाँ $f(n)=n^{2}$ पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है। $f$ का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिए।
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An arbitrary element $y$ in $Y$ is of the form $n^{2}$, for some $n \in N .$ This implies that $n=\sqrt{y} .$ This gives a function $g: Y \rightarrow N$, defined by $g(y)=\sqrt{y} .$ Now, $gof\,(n)$ $=g\left(n^{2}\right)$ $=\sqrt{n^{2}}=n$ and $fog (y)=f(\sqrt{y})=$ $(\sqrt{y})^{2}=y,$ which shows that $g o f=I_{N}$ and $f o g=I_{Y} .$ Hence, $f$ is invertible with $f^{-1}=g$
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यदि $f(x) = \frac{x}{{1 + x}}$, तब ${f^{ - 1}}(x)$ का मान होगा
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निम्नलिखित फलनों में से कौनसा फलन प्रतिलोम फलन है
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मान लीजिए कि $f: N \rightarrow R , f(x)=4 x^{2}+12 x+15$ द्वारा परिभाषित एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि $f: N \rightarrow S$, जहाँ $S , f$ का परिसर है, व्युत्क्रमणीय है। $f$ का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिए।
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माना $f: R -\{3\} \rightarrow R -\{1\}, f( x )=\frac{ x -2}{ x -3}$ द्वारा परिभाषित है। माना $g : R \rightarrow R , g ( x )=2 x -3$ द्वारा दिया गया है। तो $x$ के सभी मानों, जिनके लिए $f^{-1}( x )+ g ^{-1}( x )=\frac{13}{2}$ है, का योगफल बराबर है
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- [JEE MAIN 2021]
मान लीजिए कि $S =\{a, b, c\}$ तथा $T =\{1,2,3\}$ है। $S$ से $T$ तक के निम्नलिखित फलनों $F$ के लिए $F ^{-1}$ ज्ञात कीजिए, यदि उसका अस्तित्व है :
$F =\{(a, 2),(b, 1),(c, 1)\}$
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