मान लीजिए कि $f: N \rightarrow R , f(x)=4 x^{2}+12 x+15$ द्वारा परिभाषित एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि $f: N \rightarrow S$, जहाँ $S , f$ का परिसर है, व्युत्क्रमणीय है। $f$ का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए कि $f: N \rightarrow R , f(x)=4 x^{2}+12 x+15$ द्वारा परिभाषित एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि $f: N \rightarrow S$, जहाँ $S , f$ का परिसर है, व्युत्क्रमणीय है। $f$ का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिए।
Let $y$ be an arbitrary element of range $f$. Then $y=4 x^{2}+12 x+15,$ for some $x$ in $N ,$ which implies that $y=(2 x+3)^{2}+6 .$ This gives $x=\frac{((\sqrt{y-6})-3)}{2},$ as $y \geq 6$
Let us define $g: S \rightarrow N$ by $g(y)=\frac{((\sqrt{y-6})-3)}{2}$
Now $gof\,(x)=g(f(x))=g\left(4 x^{2}+12 x+15\right)$ $=g\left((2 x+3)^{2}+6\right)$
$=\frac{((\sqrt{(2 x+3)^{2}+6-6})-3)}{2}=\frac{(2 x+3-3)}{2}=x$
and $fog (y)=f\left(\frac{((\sqrt{y-6})-3)}{2}\right)=\left(\frac{2((\sqrt{y-6})-3)}{2}+3\right)^{2}+6$
$=((\sqrt{y-6})-3+3))^{2}+6=(\sqrt{y-6})^{2}+6=y-6+6=y$
Hence, $gof=I_{ N }$ and $f o g=I_{s} .$ This implies that $f$ is invertible with $f^{-1}=g$.
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यदि $f(x) = 3x - 5$ है, तो ${f^{ - 1}}(x) =$
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- [IIT 1998]
मान लीजिए कि $S =\{1,2,3\}$ है। निर्धारित कीजिए कि क्या नीचे परिभाषित फलन $f: S \rightarrow S$ के प्रतिलोम फलन हैं। $f^{-1},$ ज्ञात कीजिए यदि इसका अस्तित्व है।
$f=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}$
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मान लीजिए कि $S =\{a, b, c\}$ तथा $T =\{1,2,3\}$ है। $S$ से $T$ तक के निम्नलिखित फलनों $F$ के लिए $F ^{-1}$ ज्ञात कीजिए, यदि उसका अस्तित्व है :
$F =\{(a, 3),(b, 2),(c, 1)\}$
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मान लीजिए कि $f: N \rightarrow Y , f(x)=4 x+3,$ द्वारा परिभाषित एक फलन है, जहाँ $Y =\{y \in N : y=4 x+3$ किसी $x \in N$ के लिए $\}$। सिद्ध कीजिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है। प्रतिलोम फलन भी ज्ञात कीजिए।
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माना फलन $f$ इस प्रकार परिभाषित है कि $f(x) = \frac{{2x + 1}}{{1 - 3x}}$, तब ${f^{ - 1}}(x) =$
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