અહી a_{1}, a_{2}, ldots ldots, a_{21} એ સમાંત | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

$\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n} a_{n+1}}=\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n}\left(a_{n}+d\right)}$

$=\frac{1}{d} \sum_{n=1}^{20}\left(\frac{1}{a_{n}}-\f

Vedclass · Accepted Answer

$72$

Vedclass · Answer

$\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n} a_{n+1}}=\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n}\left(a_{n}+dight)}$

$=\frac{1}{d} \sum_{n=1}^{20}\left(\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n}+d}ight)$

$\Rightarrow \frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{21}}ight)=\frac{4}{9} 	ext { (Given) }$

$\Rightarrow \frac{1}{\mathrm{~d}}\left(\frac{\mathrm{a}_{21}-\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{21}}ight)=\frac{4}{9}$

$\Rightarrow \frac{1}{\mathrm{~d}}\left(\frac{\mathrm{a}_{1}+20 \mathrm{~d}-\mathrm{a}_{1}}{\mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2}}ight)=\frac{4}{9}$$\Rightarrow \mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{2}=45 \ldots (1)$

Now sum of first $21$ terms $=\frac{21}{2}\left(2 \mathrm{a}_{1}+20 \mathrm{~d}ight)=189$

$\Rightarrow a_{1}+10 d=9 \ldots (2)$

For equation $(1) \,\&\,(2)$ we get

$a_{1}=3\,\&\, d=\frac{3}{5}$

OR

$a_{1}=15\, \&\, d=-\frac{3}{5}$

$\mathrm{So}, a_{6} \cdot \mathrm{a}_{16}=\left(\mathrm{a}_{1}+5 \mathrm{~d}ight)\left(\mathrm{a}_{1}+15 \mathrm{~d}ight)$

$\Rightarrow \mathrm{a}_{6} \mathrm{a}_{16}=72$

Similar Questions

જો સમાંતર શ્રેણીનું $10^{\text {th }}$ મુ પદ $\frac{1}{20}$ અને તેનું $20^{\text {th }}$ મુ પદ $\frac{1}{10},$ હોય તો પ્રથમ $200$ પદોનો સરવાળો મેળવો.

જેનું $n$ મું પદ આપેલ છે તે શ્રેણીનાં ${a_7}$ પદ શોધો : $a_{n}=\frac{n^{2}}{2^{n}}$

જો સમીકરણ $x^3 - 12x^2 + 39x - 28 = 0$ ના બીજ સમાંતર શ્રેણી હોય તો તેનો સામાન્ય તફાવત કેટલો હોય ?

જો કોઈ સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $cn(n -1)$ , જ્યાં $c \neq 0$ , હોય તો આ પદોના વર્ગોનો સરવાળો મેળવો