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माना कि $T_1$ एवं $T_2$ दीर्घवृत (ellipse) $E: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ एवं परवलय (parabola) $P: y^2=12 x$ की दो भिन्न उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं (distinct common tangents) हैं। माना कि स्पर्श रेखा $T_1, P$ एवं $E$ को क्रमशः बिन्दुओं $A_1$ एवं $A_2$ पर स्पर्श करती है और स्पर्श रेखा $T_2, P$ एवं $E$ को क्रमशः बिन्दुओं $A_4$ एवं $A_3$ पर स्पर्श करती है। तब निम्न में से कौन सा(से) कथन सत्य है(हैं)?
$(A)$ चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ का क्षेत्रफल $35$ वर्ग इकाई है
$(B)$ चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ का क्षेत्रफल $36$ वर्ग इकाई है
$(C)$ स्पर्श रेखाएं $T_1$ एवं $T_2, x$-अक्ष को बिंदु $(-3,0)$ पर मिलती हैं
$(D)$ स्पर्श रेखाएं $T_1$ एवं $T_2, x$-अक्ष को बिंदु $(-6,0)$ पर मिलती हैं
$A,C$
$A,D$
$B,C$
$B,D$
Solution
$y=m x+\frac{3}{m}$
$C^2=a^2 m^2+b^2$
$\frac{9}{m^2}=6 m^2+3 \quad \Rightarrow m^2=1$
$\mathrm{T}_1 \& \mathrm{~T}_2$
$y=x+3, y=-x-3$
Cuts $\mathrm{x}$-axis at $(-3,0)$
$\mathrm{A}_1(3,6) \mathrm{A}_4(3,-6)$
$\mathrm{A}_2(-2,1) \mathrm{A}_3(-2,-1)$
$\mathrm{A}_1 \mathrm{~A}_4=12, \quad \mathrm{~A}_2 \mathrm{~A}_3=2, \quad \mathrm{MN}=5$
$\text { Area }=\frac{1}{2}(12+2) \times 5=35 \text { sq.unit }$
Ans. $(A, C)$
