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माना $E _{1}: \frac{ x ^{2}}{ a ^{2}}+\frac{ y ^{2}}{ b ^{2}}=1, a > b$ एक दीर्घवत्त है। माना $E _{2}$ एक और दीर्घवत्त है, जो $E _{1}$ के दीर्घ अक्ष के छोरों को स्पर्श करता है तथा $E_{2}$ की नाभियोँ, $E_{1}$ के लघु अक्ष के छोरों पर है। यदि $E _{1}$ तथा $E _{2}$ की उत्केन्द्रता बराबर है, तो उसका मान है -
$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$
$\frac{-1+\sqrt{6}}{2}$
$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
$\frac{-1+\sqrt{8}}{2}$
Solution
$\mathrm{e}^{2}=1-\frac{\mathrm{b}^{2}}{\mathrm{a}^{2}} ….(1)$
$\mathrm{e}^{2}=1-\frac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{c}^{2}} ….(2)$
$\Rightarrow \frac{\mathrm{b}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}=\frac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{c}^{2}}$
$\Rightarrow \mathrm{c}^{2}=\frac{\mathrm{a}^{4}}{\mathrm{~b}^{2}} \Rightarrow \mathrm{c}=\frac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{~b}}$
Also $b=c e$
$\therefore \frac{b}{e}=\frac{a^{2}}{b} \Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{2}}=e$
$\quad e^{2}=1-b^{2} / a^{2} \Rightarrow e^{2}+e-1=0$
