माना p तथा p +2 अभाज्य संख्याएँ हैं तथा मा

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3 and 4 .Determinants and Matrices

hard

माना $p$ तथा $p +2$ अभाज्य संख्याएँ हैं तथा माना $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}p ! & (p+1) ! & (p+2) ! \\ (p+1) ! & (p+2) ! & (p+3) ! \\ (p+2) ! & (p+3) ! & (p+4) !\end{array}\right|$ है। तब $\alpha$ तथा $\beta$ के अधिकतम मानों, जिनके लिए $p ^\alpha$ तथा $( p +2)^\beta, \Delta$ को विभाजित करते हैं, का योग है $...........$

$4$

$3$

$2$

$1$

(JEE MAIN-2022)

Solution

$\Delta=\left|\begin{array}{ccc} P ! & ( P +1) ! & ( P +2) ! \\( P +1) ! & ( P +2) ! & ( P +3) ! \\( P +2) ! & ( P+3) ! & ( P +4) !\end{array}\right|$

$\Delta= P !( P +1) !( P +2) !\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\P +1 & P +2 & P +3 \\( P +2)( P +1) & ( P +3)( P +2) & ( P +4)( P +3)\end{array}\right|$

$\Delta=2 P !( P +1) !( P +2) !$

Which is divisible by $P ^{\alpha}\,and\,( P +2)^{\beta}$

$\therefore \alpha=3, \beta=1$

Standard 12

Mathematics