मान लीजिए frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1,a > b , एक दीर्घवृत

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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

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मान लीजिए $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,a > b$, एक दीर्घवृत है जिसकी नाभियाँ $F_1$ एवं $F_2$ हैं। $A O$ इसकी अर्धलघु $(semi-minor)$ अक्ष है, और $O$ दीर्घवृत का केंद्र है। रेखाएँ $A F_1$ एवं $A F_2$ को बढ़ाने पर वो दीर्घवृत को पुन: क्रमशः $B$ एवं $C$ बिन्दुओं पर काटती हैं। मान लीजिए कि $A B C$ एक समबाहु त्रिभुज है, तब दीर्घवृत की उत्केन्द्रता निम्न है :

A

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

B

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

C

$\frac{1}{3}$

D

$\frac{1}{2}$

(KVPY-2018)

Solution

(d)

Given, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

$A B C$ is an equilateral traingles.

$\ln \Delta A O F_2^1$

$\tan 30^{\circ}=\frac{O F_2}{O A}$

$\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{a e}{b}$

$b =\sqrt{3} a e$

$b^2 =3 a^2 e^2$

$\frac{b^2}{a^2} =3 e^2$

$4 e^2 =1$

$e^2 =\frac{1}{4} \Rightarrow e=\frac{1}{2}$

Standard 11

Mathematics

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माना एक रेखा $L$, रेखाओं $bx +10 y -8=0$ तथा $2 x -3 y =0, b \in R -\left\{\frac{4}{3}\right\}$ के प्रतिच्छेदन बिन्दु से होकर जाती है। यदि रेखा $L$, बिन्दु $(1,1)$ से भी होकर जाती है तथा वृत्त $17\left( x ^2+ y ^2\right)=16$ को स्पर्श करती है, तो दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{b^2}=1$ की उत्केन्द्रता है:

hard

(JEE MAIN-2022)

दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ के बिन्दु $'\theta '$ की नाभि से दूरी होगी

easy

दीर्घवृत्त $9 x^{2}+4 y^{2}=36$ के नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, दीर्घ और लघु अक्ष की लंबाइयाँ, और उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।

medium

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$(D)$ रेखाओं $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ व $x=1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{16}(\pi-2)$ है

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(IIT-2018)

रेखा $lx + my + n = 0$ दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ पर अभिलम्ब है, यदि

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