मान लें कि $a, b$ अशून्य वास्तविक संख्याएँ हैं तो द्विघात $(quadratic)$ समीकरण $a x^2+(a+b) x+b=0$

के बारे में निम्नलिखित में से कौन से कथन निश्चय ही सत्य हैं?

$(I)$ इसका कम से कम एक शून्यक (root) ऋणात्मक होगा।

$(II)$ इसका कम से कम शक शून्यक धनात्मक होगा।

$(III)$ इसके दोनों शून्यक वास्तविक हैं।

यदि समीकरण $4{x^3} + 16{x^2} - 9x - 36 = 0$ के दो मूलों का योग शून्य हो तो मूल होंगे

माना $\alpha$ तथा $\beta$ दो वास्तविक संख्याऐं है जिनके लिए $\alpha+\beta=1$ तथा $\alpha \beta=-1$ हैं। माना किसी पूर्णांक $n \geq 1$ के लिए $p _{ n }=(\alpha)^{ n }+(\beta)^{ n }, p _{ n -1}=11$ तथा $p _{ n +1}=29$ हैं। तो $p _{ n }^{2}$ का मान है ........

समीकरण $x^5-6 x^4+11 x^3-5 x^2-3 x+2=0$ के सभी अपूर्णांक मूलों का योग है

यदि समीकरण, $x ^{2}+5(\sqrt{2}) x +10=0$, के $\alpha$ तथा $\beta$, $\alpha>\beta$ दो मूल है तथा $P_{n}=\alpha^{n}-\beta^{n}$,( प्रत्येक धन पूर्णांक $n$ के लिए) है, तो $\left(\frac{ P _{17} P _{20}+5 \sqrt{2} P _{17} P _{19}}{ P _{18} P _{19}+5 \sqrt{2} P _{18}^{2}}\right)$ का मान है ............. |

$x$ के कितने वास्तविक मानों के लिये समीकरण $\left| {\,3{x^2} + 12x + 6\,} \right| = 5x + 16$ अस्तित्व रखता है