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4-2.Quadratic Equations and Inequations
hard
मान लें कि $a, b$ अशून्य वास्तविक संख्याएँ हैं तो द्विघात $(quadratic)$ समीकरण $a x^2+(a+b) x+b=0$
के बारे में निम्नलिखित में से कौन से कथन निश्चय ही सत्य हैं?
$(I)$ इसका कम से कम एक शून्यक (root) ऋणात्मक होगा।
$(II)$ इसका कम से कम शक शून्यक धनात्मक होगा।
$(III)$ इसके दोनों शून्यक वास्तविक हैं।
A
केवल $(I)$ और $(II)$
B
केवल $(I)$ और $(III)$
C
केवल $(II)$ और $(III)$
D
सभी
(KVPY-2013)
Solution
(b)
We have,
$\Rightarrow a x^2+(a+b) x+b =0$
$\Rightarrow a x^2+a x+b x+b =0$
$\Rightarrow (a x+b)(x+1) =0$
$\Rightarrow =-\frac{b}{a},-1$
It has at least one negative root, i.e. $-1$. So, it has both roots are real.
$\therefore$ Option $(b)$ is correct.
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