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Basic of Logarithms
hard
मान लीजिए कि $a, b, x$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 1, x \neq 1$ एवं $a b \neq 1$ यदि $\log _a b=10$ तथा $\frac{\log _a x \log _x\left(\frac{b}{a}\right)}{\log _x b \log _{a b} x}=\frac{p}{q},$ यहाँ $p$ और $q$ धनात्मक पूर्णांक हैं एवं असहभाज्य (co-prime) हैं, तब $p+q$ का क्या मान होगा ?
A
$9$
B
$99$
C
$109$
D
$199$
(KVPY-2021)
Solution
(c)
$\frac{p}{q}=\frac{\log _a x \cdot \log _x\left(\frac{b}{a}\right)}{\log _x b \cdot \log _{a b} x}$
$\frac{ p }{ q }=\frac{\frac{(\log b -\log a)}{\log a}}{\frac{\log b }{(\log a+\log b)}}$$\frac{ p }{ q }=\frac{(\log b )^2-(\log a)^2}{(\log a)(\log b )}$
Given $\log _{ a } b =10 \Rightarrow \log b =10 \log a$
$\frac{ p }{ q }=\frac{(100-1)(\log a)^2}{10(\log a)^2}=\frac{99}{10}$
$p+q=109$
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