ધારો કે H _{ n }: frac{x^2}{1+n}-frac{y^2}{3+n}=1, n ∈ N છે.ધારો કે k

English

Gujarati

Hindi

10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

hard

ધારો કે $H _{ n }: \frac{x^2}{1+n}-\frac{y^2}{3+n}=1, n \in N$ છે.ધારો કે $k$ એ $n$ ની એવી લઘુતમ યુગ્મ કિંમત છે કે જેથી $H _{ k }$ ની ઉત્કેન્દ્રતા સંમેય સંખ્યા થાય.જો $H _{ k }$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $l$ હોય, તો $21\,l =........$

A

$305$

B

$306$

C

$304$

D

$303$

(JEE MAIN-2023)

Solution

$Hn \Rightarrow \frac{ x ^2}{1+ n }-\frac{ y ^2}{3+ n }=1$

$e =\sqrt{1+\frac{ b ^2}{ a ^2}}=\sqrt{1+\frac{3+ n }{1+ n }}=\sqrt{\frac{2 n +4}{ n +1}}$

$e =\sqrt{\frac{2 n +4}{ n +1}}$

$n =48(\text { smallest even value for which } e \in Q )$

$e =\frac{10}{7}$

$a ^2 =n+1 \quad b ^2=n+3$

$=49 \quad, \quad=51$

$1 =\text { length of } LR =\frac{2 b ^2}{ a }$

$L =2 \cdot \frac{51}{7}$

$1 =\frac{102}{7}$

$21 \ell=306$

Standard 11

Mathematics

Share

Similar Questions

આપેલ અતિવલય માટે નાભિઓ, શિરોબિંદુઓ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ મેળવો: $49 y^{2}-16 x^{2}=784$

medium

જો અતિવલયનું કેન્દ્ર, શિરોબિંદુ અને નાભિકેન્દ્ર અનુક્રમે $ (0, 0), (4, 0)$ અને $ (6, 0) $ હોય, તો અતિવલયનું સમીકરણ…..

easy

વિધાન $ (A) $ : બિંદુ $(5, -4)$ એ અતિવલય $y^2 – 9x^2 + 1 = 0 $ ની અંદર આવેલું છે.

કારણ ${\rm{(R)}}$ બિંદુઓ ${\rm{ (}}{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{y}}_{\rm{1}}}{\rm{)}}$ એઅતિવલય ${\rm{ }}\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\, – \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\, = \,\,1$ ની અંદર આવેલું , તો $\frac{{x_{^1}^2}}{{{a^2}}}\, – \,\,\frac{{y_1^2}}{{{b^2}}}\, – \,\,1\,\, < \,\,0$

medium

જેનાં નાભિઓ $(0,\,\pm 3)$ અને શિરોબિંદુઓ $(0,\,\pm \frac {\sqrt {11}}{2})$ હોય તેવા અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો.

medium

ઉત્કેન્દ્ર્તા $\mathrm{e}$ વાળા એક અતિવલયનાં નાભિલંબની લંબાઈ તથા નિયામિકાઓ અનુક્મમે $9$ અને $x= \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$ છે. ધારો કે રેખા $y-\sqrt{3} x+\sqrt{3}=0$ આ અતિવલયને $\left(x_0, y_0\right)$ માં સ્પર્શ છે. જે બિંદુ $\left(x_0, y_0\right)$ ના નાભ્યાંતરોનો ગુણાકાર $\mathrm{m}$ હોય, તો $4 \mathrm{e}^2+\mathrm{m}=$ ………..

hard

(JEE MAIN-2024)